新手第一次写博客，作为自己的学习笔记，如有错误之处还请各位大佬多多指出；

01背包问题介绍

「01背包问题」，是让你从N个物品中，选出总价值之和最大并且不超过背包总体积V的物品；（每一件物品都有自己的价值和相应的体积，并且没一件物品只可以选择一次）。

这是一个比较简单的动态规划的问题，动态规划是不断决策求最优解的过程，「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

（我这里使用的是二维的，之后会更新一维版本）

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源代码：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 2010;
int w[N], v[N];  //v[i] 表示第i个物品的体积  w[i]表示第i个物品的价值
int dp[N][N];    //状态表示：dp[i][j] 前i个物品，在容积为j的情况下的最大价值

int main()
{
    int n, m;    //n：物品数量  m：背包容积
    
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];   //输入每一个物品的价值和相应的体积
    
    for(int i  = 1; i <= n; i ++)  
        for(int j = 1; j <= m; j++)  //「1」
        {
            //当前背包容量够装下第i个物品
            if(j >= v[i])
            {
                //「2」
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]); 
            }
            //当前背包容量不够装下第i个物品
            else
            {
                //「3」
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    //直接输出，n个物品，体积为m时，最优情况；
    cout << dp[n][m];
    
    return 0;
}

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推导过程：

「01背包问题」最重要的就是选择的过程了，这个过程我也是自己手推了一遍，才算真的明白了，接下来我写一下对于上面三个标注地方的理解：

「1」：每一次 j 都要从 1 开始，直到 m，这是因为 j 取的每一个数（体积）我们都要对其选择价值价值最大的情况，至于怎么判断，请看下面；

「2」：j >= v[ i ] ： 当前体积 j 可以容纳下体积为 v[ i ] 的物品。

此时，我们所需要做得就是比较 dp[ i - 1 ][j - v[ i ] ] + w[ i ]   与  dp[ i - 1][ j ] 大小，并且取较大值；

dp[ i - 1 ][j - v[ i ] ] + w[ i ]  ：表示前一个物品，占用的体积为 j - v[ i ] 时，所取得的值，加上当前选择的第 i 个物品的价值；（注意：上一个物品的最优值值随着 j 的改变，也是在发生变化的）

dp[ i - 1][ j ]：表示不取当前物品，并且前一个物品所占用容积为  j  时，所取得的值；

注意：「2」是我这个小菜鸡不容易理解的地方，所以我动手推了一下这个过程，结果恍然大悟，如果大家不明白的话，可以找一道例题，取动手写一下，相信你也会明白的；

「3」j < v [ i ] : 当前体积无法容纳第 i 个物品，不可以选择，所以此时价值最大就是前 i - 1个物品的最大值；

总结

这是我的一个学习笔记，希望各位大佬看了之后，能够给出一些建议，我这个小菜鸡一定会好好学的，谢谢！