二叉树和其他树

文章目录

树二叉树二叉树的特性二叉树的描述

数组描述链表描述 二叉树的遍历

表达式树 抽象数据类型BinaryTreelinkedBinaryTree基于树结构的并查集

集合的树形描述求解策略C++实现性能分析合并函数的性能改进查找函数的性能改进

树

截止目前，我们已经知道了线性数据结构（数组、链表、栈、队列）和表数据结构（哈希表），但是这些数据结构不适合具有层次结构的数据。

定义-1一棵树t是一个非空的有限元素的集合，其中一个元素为根，其余的元素组成t的子树。

另外，还需要了解的专有名词有：孩子节点、双亲节点、兄弟节点、祖先节点、子孙节点、内部节点、外部节点。

在这本书中，对深度、高度、级的定义是一致的，也都是从1开始。详细定义参考这里面的定义。

一个元素的度指的是其孩子的个数，比如叶节点的度就是0.一棵树的度是其元素的度的最大值。

二叉树

定义-2一棵二叉树t是有限个元素的集合（可以为空）。当二叉树为非空时，其中有一个元素为根，余下元素被划分成两个二叉树，分别称为t的左子树和右子树。

二叉树和树的根本区别是：

二叉树的每个元素都恰好有两棵子树，其中一个或两个可能为空。而树的每个元素可有任意数量的子树；在二叉树中，每个元素的子树都是有序的，也就是说，有左子树和右子树之分。而树的子树是无序的。

二叉树的特性

这里的特性是基于根的深度为1，叶节点的高度为1。

特性-1 一棵二叉树有n个元素， n > 0 ngt0 n>0，它有n-1条边。

特性-2 一棵二叉树的高度为h， h ≥ 0 hge0 h≥0，它最少有h个元素，最多有 2 h − 1 2^h-1 2h−1个元素（满二叉树）。

特性-3 一棵二叉树有n个元素， n > 0 ngt0 n>0，它的高度最大为n，最小高度为 ⌈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) ⌉ lceillog_2(n+1)rceil ⌈log2​(n+1)⌉（满二叉树）。

当高度为h的二叉树恰好有 2 h − 1 2^h-1 2h−1个元素时，称其为满二叉树（1+2+4+…）。

关于完全二叉树的定义：对一棵满二叉树，从上到下，从左到右（广度优先的方式）进行编号，假设从满二叉树中删除k个其编号为 2 h − i 2^h-i 2h−i元素，称所得到的树为完全二叉树。

特性-4 设完全二叉树的一元素其编号为i， 1 ≤ i ≤ n 1le ile n 1≤i≤n。有以下关系成立：

如果 i = 1 i=1 i=1，则该元素为二叉树的根。若 i > 1 igt1 i>1，则其父节点的编号为 ⌊ i / 2 ⌋ lfloor i/2rfloor ⌊i/2⌋；如果 2 i > n 2igt n 2i>n，则该元素无做孩子。否则其左孩子的编号为2i；如果 2 i + 1 > n 2i+1gt n 2i+1>n，则该元素无右孩子。否则其右孩子的编号为2i+1。

二叉树的描述 数组描述

二叉树的数组表示利用了特性-4，把二叉树看做是缺少了部分元素的完全二叉树。

可以看出这种方法十分的浪费空间，对于有n个元素的二叉树，最多需要 2 n 2^n 2n个空间存储（考虑到数组的0位置，因为4的编号从1开始）。

链表描述

二叉树最常用的表示方法是用指针。每个元素用一个节点表示，节点有两个指针域，分别称为leftChild和rightChild，此外还有一个element域。

实现方式如下所示：

template 
struct binaryTreeNode
{
	T element;
	binaryTreeNode* leftChild;
	binaryTreeNode* rightChild;
	// 默认构造函数，元素随着T决定，指针需要避免迷途
	binaryTreeNode() { leftChild = rightChild = NULL; }
	binaryTreeNode(const T& theElement) { element = theElement; leftChild = rightChild = NULL; }
	binaryTreeNode(const T& theElement,
		binaryTreeNode* theLeftChild,
		binaryTreeNode* theRightChild) :
		element(theElement),
		leftChild(theLeftChild),
		rightChild(theRightChild)
	{};
};

二叉树的遍历

分为前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。

// 从根开始，先左后右
template
void preOrder(binaryTreeNode *t) {
	visit(t); // 访问树根
	preOrder(t->leftChild); // 访问左子树
	preOrder(t->rightChild); // 访问右子树
}
// 从左子树开始，后中再右
template
void inOrder(binaryTreeNode* t) {
	inOrder(t->leftChild);
	visit(t);
	inOrder(t->rightChild);
}
// 从左子树开始，后右再中
template
void postOrder(binaryTreeNode* t) {
	postOrder(t->leftChild);
	postOrder(t->rightChild);
	visit(t);
}
// 层次遍历、广度优先
template
void levelOrder(binaryTreeNode* t) {
	std::queue> q;
	while (t != NULL) {
		visit(t);
		if (t->element != NULL) q.push(t->leftChild);
		if (t->rightChild != NULL) q.push(t->rightChild);
		try { t = q.front(); }
		catch (...) { return; }
		q.pop();
	}
}

表达式树

用算术符号和变量构成的二叉树。

对一棵表达式树分别进行中序、前序和 后序遍历，结果便是表达式的中缀、前缀和后缀形式。

前缀：+ab；中缀：a+b；后缀：ab+。

中缀表达式需要加上优先级规则才能避免歧义。

在后缀和前缀表达式中，不必采用优先级规则，遇到一个操作符，则将其与栈顶的操作数相匹配。把这些操作数弹出栈，由操作符执行响应的操作，然后将计算结果压入操作数栈。

抽象数据类型BinaryTree

二叉树的操作有：

empty()：若树为空，则返回true，否则返回false；size()：返回二叉树的节点/元素个数；preOrder(visit)等共计四种遍历函数。

template 
class binaryTree{
public:
	virtual ~binaryTree() {}
	virtual bool empty() const = 0;
	virtual int size() const = 0;
	virtual void proOrder(void (*) (T*)) = 0;
	virtual void inOrder(void (*) (T*)) = 0;
	virtual void postOrder(void (*) (T*)) = 0;
	virtual void levelOrder(void (*) (T*)) = 0;
}

其中，二叉树遍历方法的参数类型为void (*) (T*)。

这是一种函数类型，这种函数的返回值类型是void，它的参数类型是T*。

linkedBinaryTree

template
class linkedBinaryTree : public binaryTree> {
public:
	linkedBinaryTree() { root = NULL; treeSize = 0; }
	~linkedBinaryTree() { erase(); };
	bool empty() const { return treeSize == 0; }
	int size() const { return treeSize; }
	void preOrder(void(*theVisit)(binaryTreeNode*)) { visit = theVisit; preOrder(root); }
	void inOrder(void(*theVisit)(binaryTreeNode*)) { visit = theVisit; inOrder(root); }
	void postOrder(void(*theVisit)(binaryTreeNode*)) { visit = theVisit; postOrder(root); }
	void levelOrder(void(*theVisit)(binaryTreeNode*))) { visit = theVisit; postOrder(root);
	void erase() {
		postOrder(dispose);
		root = NULL;
		treeSize = 0;
	}
private:
	binaryTreeNode* root;
	int treeSize;
	static void (*visit)(binaryTreeNode*);
	static void preOrder(binaryTreeNode* t);
	static void inOrder(binaryTreeNode* t);
	static void postOrder(binaryTreeNode* t);
	static void levelOrder(binaryTreeNode* t);
	static void dispose(binaryTreeNode* t) { delete t; }
};

这其中最令人眼前一亮的应该是函数指针作为形参的操作。

我们首先在private部分定义了一个函数指针，之后将preOrder等遍历函数进行重载，以接收访问函数的指针。

详细内容可参照这里。

基于树结构的并查集

在之前，我们已经介绍过了数组和链表结构的并查集。

在此处，我们要介绍树结构的并查集，其中每个集合被表示为一棵树。

集合的树形描述

任何一个集合S都可以描述为一棵具有 ∣ S ∣ |S| ∣S∣个节点的树，一个节点代表一个元素。任何一个元素都可以作为根元素；剩余元素的任何子集可以作为根元素的孩子；再剩余元素的任何子集可以作为根元素的孙子。

每个非根节点都有一个指针指向其父节点。指向父节点的指针之所以需要，是因为查找操作需要向上搜索一棵树。查找与合并操作都需要向下移动。

求解策略

把每一个集合表示为一棵树。查找时，我们把根元素作为集合标示符。

对于find函数来说，为了确定元素theElement属于哪一个集合，我们从元素theElement节点开始，沿着节点到其父节点向上移动，直到根节点为止。

在合并时，我们假设在调用语句unite(classA,classB)中，classA和classB分别是两个不同树的集合的根。为了把两个集合合并，让一棵树成为另一棵树的子树。

C++实现

int* parent;

void initialize(int numberOfElements) {
	// 初始化numberOfElements棵树，每棵树一个元素
	parent = new int[numberOfElements + 1];
	for (int e = 0; e < numberOfElements + 1; e++)
		parent[e] = 0;
}

int find(int theElement) {
	// 返回元素theElement所在树的根
	while (parent[theElement] != 0)
		theElement = parent[theElement];
}

int unite(int rootA, int rootB) {
	// 合并两棵其根节点不同的树
	parent[rootB] = rootA;
}

我们将树结构的并查集和数组结构的并查集对比一下：

在初始化上，思想都是各自为类，所以树并查集的每一个节点都指向了空节点0，而数组并查集每一个节点的代表元素都是本身；在find上，树并查集需要层层递进，找到根节点，数组并查集只需要返回数组索引位置处的元素即可；在unite上，树并查集只需要更改根节点的parent即可，而数组并查集需要把每个classB的成员改成classA，比较麻烦。

关于链表结构的并查集，看着好烦，这里就不比较了。

性能分析

结构	构造	find	unite
数组	Θ ( n ) Theta(n) Θ(n)	Θ ( 1 ) Theta(1) Θ(1)	Θ ( n ) Theta(n) Θ(n)
链表	Θ ( n ) Theta(n) Θ(n)	Θ ( 1 ) Theta(1) Θ(1)	O ( n ) O(n) O(n)
树	Θ ( n ) Theta(n) Θ(n)	O ( h ) O(h) O(h)	Θ ( 1 ) Theta(1) Θ(1)

比如说，一个树结构的并查集进行了f次查找和u次合并，那么一个系列的操作的时间为 O ( f u ) O(fu) O(fu)。

这是因为，每一个合并，都给某些树增加了高度，潜在地增加了查找的时间。

合并函数的性能改进

在对根i和根j的树进行合并操作时，利用重量规则和高度规则，可以提高并查集算法的性能。

重量规则：若根为i的树的节点数少于根为j的树的节点数，则将j作为i的父节点。否则，将i作为j的父节点。

高度规则：若根为i的树高度小于根为j的树的高度，则将j作为i的父节点。否则，将i作为j的父节点。

为了把重量规则应用到合并算法中，在每个节点增加一个布尔域root。当且仅当每一个节点是当前根节点时，它的root域为true。

每个根节点的parent域用来记录该树的节点总数。

struct unionFindNode{
	int parent;
	bool root;

	unionFindNode()
		{parent = 1; root = true;}
};

初始化、查找和合并函数仍然采用先前的程序。

struct unionFindNode {
	int parent;
	bool root;

	unionFindNode()
	{
		parent = 1; root = true;
	}
};

unionFindNode* node;

void initialize(int n) {
	node = new unionFindNode[n + 1];
}

int find(int theElement) {
	while (!node[theElement].parent)
		theElement = node[theElement].parent;
	return theElement;
}

void unite(int rootA, int rootB) {
	if (node[rootA].parent > node[rootB].parent) {
		node[rootA].parent += node[rootB].parent;
		node[rootB].parent = rootA;
		node[rootB].root = false;
	}
	else {
		node[rootB].parent += node[rootA].parent;
		node[rootA].parent = rootB;
		node[rootA].root = false;
	}
}

之所以采用重量规则是基于如下引理：

引理-1【重力规则引理】：假设从单元素集合出发，用重量规则进行合并操作。若以此方式构建一棵具有p个节点的树t，则树的高度最多为 ⌊ log ⁡ 2 p ⌋ + 1 lfloorlog_2prfloor+1 ⌊log2​p⌋+1。

如果采用高度规则，此结论依然成立。

查找函数的性能改进

修改方法是缩短从元素e到根的查找路径。这个方法利用了路径压缩。这个过程的实现至少有三种不同的途径：路径紧缩、路径分割和路径对折。

在路径紧缩中，从待查节点到根节点的路径上，所有节点的parent指针都被改为指向根节点。

int find(int theElement){
// 返回元素theElement所在树的根
// 紧缩从元素theElement到根的路径
	// theRoot最终是根
	int theRoot = theElement;
	while (!node[theRoot].root)
		theRoot = theElement;
	
	// 紧缩从theElement到theRoot的路径
	int currentNode = theElement;
	while(currentNode != theRoot){
		int parentNode = node[currentNode].parent;
		node[currentNode].parent = theRoot;
		currentNode = parentNode;
	}
	return theRoot;
}

在路径分割中，从e节点到根节点的路径上，除根节点和其子节点之外，每个节点的parent指针都被改为指向各自的祖父。

在路径对折中，从e节点到根节点的路径上，除根节点和其子节点之外，每隔一个节点，其parent指针都被改为指向各自的祖父。

路径压缩的过程不会改变树的重量，但是会改变树的高度，于是乎，路径压缩和高度规则一起使用是很麻烦的。