本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-微积分第二基本定理-网易公开课
一、反向来看FTC1
FTC1：如果F'(x) = f(x),
反向来看：
用 f 来理解 F 和 F'
F' 的信息可以推导出 F 的信息
1、比较FTC1和均值定理
......(这里是 f 的平均值)
不等式说明：
......(这里F' 和 f 是一回事儿，没有区别)
那为啥这个平均值不是F的平均值而是 F'的平均值呢？
因为这个式子是求f(x) 从 a 到 b 的累加
老师举了个例子
a=0, b=n
等式的左边是离散的均值，而右边是连续的均值。（个人感觉不是很好的例子）
个人认为积分其实是f(x)与x轴围成的图形的面积和，可以把它想成无数个很瘦的长方形组成的图形， 因此当把这个图形分成n等分的时候，每一份的函数值相加求平均（ ，矩形高的平均）之后再乘以x轴的覆盖范围（如 中的b-a，矩形底边长），就可以得到一个近似的面积值即 , 而显然当 , 所以
from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect(1 )
def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
yarr = []
xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps)
for xval in xarr:
yval = expr.subs(x,xval)
yarr.append(yval)
y_nparr = np.array(yarr)
plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)
def DrawRects(xFrom,xTo,steps,expr,color,plt, label=''):
width = (xTo - xFrom)/steps
xarrRect = []
yarrRect = []
area = 0
xprev = xFrom
yvalAll = 0
for step in range(steps):
yval = expr.subs(x,xprev + width)
xarrRect.append(xprev)
xarrRect.append(xprev)
xarrRect.append(xprev + width)
xarrRect.append(xprev + width)
xarrRect.append(xprev)
yarrRect.append(0)
yarrRect.append(yval)
yarrRect.append(yval)
yarrRect.append(0)
yarrRect.append(0)
area += width * yval
plt.plot(xarrRect, yarrRect, c=color)
xprev= xprev + width
yvalAll += yval
print('============================')
if len(label)!=0:
print(label)
print('============================')
print('width = ', width)
print('ave = ', yvalAll / steps)
print('area = ',area)
areaFinal = (integrate(expr, (x,xFrom,xTo)))
print ('area final = ',areaFinal)
print ('ave final = ', areaFinal / (xTo - xFrom))
def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
diffExpr = diff(exprY)
x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
eq1 = Eq(eq,0)
solveY = solve(eq1)
return xVal,solveY
def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
def Newton(expr, x0):
ret = x0 - expr.subs(x, x0)/ expr.diff().subs(x,x0)
return ret
x = symbols('x')
expr = x
DrawXY(0,10,10,expr,'blue','',plt)
DrawRects(0,10,10,expr,'green',plt)
#plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
FTC1
均值定理 (MVT)
二、考试练习
1、
均值定理暗示了A < F(4) < B, 求A， B.
（根据均值定理，这里 大于0， x的范围(0,4) 所以F是递增的）
（根据均值定理 0 FTC1： (int_{0}^{4}frac{dx}{1+4} = frac{1}{5}int_{0}^{4}dx = frac{4}{5})" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1+x%7D%20%3E%20%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1+4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4%7Ddx%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%29" /> 这里不是很明白为啥要计算这个， 可能实际应用中需要类似这样计算不等式 很显然根据换元法 u = 1+x, du = dx 几何图形： Upper and Lower riemann sum 从图形上很容易看出这个面积的大小关系，这个大的蓝色矩形其实就是积分求和时取函数最大值，并只分出一个矩形（也叫Upper RS ），这个小的红色的矩形就是积分求和时取函数最小值，并只分出一个矩形（也叫Lower RS ） 老师这时说基于以上这些，基本可以避免使用均值定理，因为有这样的更好的方法，用简单的积分就可以得到均值定理得到的任何边界。 三、微积分第二基本定理(FTC2) 1、定义：如果函数 f 是连续的，同时 ， 同时a, x 计算时看作常量)，就有 G'(x) = f(x) 2、用途：G(x) 可以用来解如下微分方程组 （必要条件） 老师表示微分方程并不总是能解，但是有以上前提，则微分方程总有解 3、例题 (1)、 这里老师的解法是： 在FTC2中由于 后面老师对这道例题的补充： 4、证明 由上图 ,这个G(x)就是箭头所指位置，曲线f(x)在(0,a)区间与x轴围成的面积，考虑 ， 上图中dG就是红色填充部分，当 很小时，这部分图形相似于矩形，而这个矩形的高就是箭头所指的 y = f(x) , 而它的面积等于底边x高，也就是 , , ( f是连续的， 因为需要f有有效值 ） ,则有 四、微积分第一基本定理(FTC1)的证明 F' = f ( f 是连续的 ) 有 根据FTC2 G'(x) = f(x) ， F' = f (c是常数) 由 ， 把 b 和 a 分别代入 五、FTC2的重点 由FTC2， （下标为1是因为 L(1) = 0） 由FTC2造就很多新的函数： 比如 钟形函数在（0,x） 和 x轴围成的面积不能被任何其他函数表现, 由于它已经完全超越了代数的范畴，所以他被称为超越函数。 这里试一下 从上面的结果可以看到这个面积的值是无法用代数方法计算的， 只能用更多的分割矩形来做近似计算 另外老师提到了 ，这是个超越数，不能用代数表示，另外e也是超越数。x = symbols('x')
expr = 1/(1+x)
DrawXY(0,4,100,expr,'green','f(x) = 1/(1+x)',plt)
DrawRects(0,4,50,expr,'green',plt, 'f(x) = 1/(1+x)')
expr = 1*x**0
DrawXY(0,4,100,expr,'blue','f(x) = 1',plt)
DrawRects(0,4,1,expr,'blue',plt,'f(x) = 1')
expr = 1/(5*x**0)
DrawXY(0,4,100,expr,'red','f(x) = 1/5',plt)
DrawRects(0,4,1,expr,'red',plt,'f(x) = 1/5')
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
x = symbols('x')
expr = np.e**(-x**2)
DrawXY(0,2,100,expr,'green','f(x) =np.e**(-x**2)',plt)
DrawRects(0,2,50,expr,'green',plt, 'f(x) = np.e**(-x**2)')
