2.5. 自动微分
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2.5. 自动微分
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练习- 证明一个矩阵
A
mathbf{A}
A的转置的转置是
A
mathbf{A}
A，即
(
A
⊤
)
⊤
=
A
(mathbf{A}^top)^top = mathbf{A}
(A⊤)⊤=A。给出两个矩阵
A
mathbf{A}
A和
B
mathbf{B}
B，证明“它们转置的和”等于“它们和的转置”，即
A
⊤
+
B
⊤
=
(
A
+
B
)
⊤
mathbf{A}^top + mathbf{B}^top = (mathbf{A} + mathbf{B})^top
A⊤+B⊤=(A+B)⊤。给定任意方阵
A
mathbf{A}
A，
A
+
A
⊤
mathbf{A} + mathbf{A}^top
A+A⊤总是对称的吗?为什么?我们在本节中定义了形状
(
2
,
3
,
4
)
(2,3,4)
(2,3,4)的张量X。len(X)的输出结果是什么？对于任意形状的张量X,len(X)是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?运行A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。你能分析原因吗？考虑一个具有形状
(
2
,
3
,
4
)
(2,3,4)
(2,3,4)的张量，在轴0、1、2上的求和输出是什么形状?为linalg.norm函数提供3个或更多轴的张量，并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?
- 为什么计算二阶导数比一阶导数的开销要更大？
因为二阶导数是在一阶导数运算过的基础上进行的，所以计算二阶导数必然比一阶导数的开销要更大在运行反向传播函数之后，立即再次运行它，看看会发生什么。
会报错的，对于Pytorch来说，前向过程建立计算图，反向传播后释放。因为计算图的中间结果已经被释放了，所以第二次运行反向传播就会出错。这时在 backward 函数中加上参数 retain_graph=True，就能两次运行反向传播了。在控制流的例子中，我们计算d关于a的导数，如果我们将变量a更改为随机向量或矩阵，会发生什么？
发生运行时错误，在Pytorch中，不让张量对张量求导，只允许标量对张量求导。如果想对一个非标量调用backward()，则需要传入一个gradient参数。重新设计一个求控制流梯度的例子，运行并分析结果。
#当 a 的范数大于10时，梯度为所有元素为 1 的向量；当 a 的梯度不大于 10 时，梯度为所有元素为 2 的向量。
def f(a):
if a.norm() > 10:
b = a
else:
b = 2 * a
return b.sum()
a = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0], requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
- 使
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)，绘制
f
(
x
)
f(x)
f(x)和
d
f
(
x
)
d
x
frac{df(x)}{dx}
dxdf(x)的图像，其中后者不使用
f
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
f'(x)=cos(x)
f′(x)=cos(x)。
其中后者不使用 f ′ ( x ) = cos ( x ) f'(x)=cos(x) f′(x)=cos(x),说明这个题的本意是让我们把函数求导得到的导数值都存下来，根据这些存下来的df值，画出 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)
#导入相应的库
import numpy as np
import torch
import matplotlib.pyplot as plt
#做一些定义
x = np.arange(-5, 5, 0.02)#定义自变量在[5,5]之间，每个数间隔0.02
f = np.sin(x)
df = []
for i in x:
#对x的每一个值都去求一下导数
v = torch.tensor(i,requires_grad=True)
y = torch.sin(v)
y.backward()
df.append(v.grad)
#绘图部分
# Create plots with pre-defined labels.
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f, 'k', label='f(x)')
ax.plot(x, df, 'k*', label='df(x)')
legend = ax.legend(loc='upper left', shadow=True, fontsize='x-large')
# Put a nicer background color on the legend.
legend.get_frame().set_facecolor('C0')
plt.show()
参考资料
参考博文
