容斥原理

1、容斥原理，对于集合Si有，|S1∪S2∪...∪Sm|=|S1|+|S2|+...+|Sm|-|S1∩S2|-...+|S1∩S2∩S3|...

ACWing 890. 能被整除的数

题意：给定一个整数 n 和 m 个不同的质数 p1,p2,…,pm。请你求出 1∼n 中能被 p1,p2,…,pm 中的至少一个数整除的整数有多少个。

思路：①1~n中p的倍数的个数：n/p。②因为p1,p2...是质数，所以1~n种能同时整除p1,p2..的个数为n/(p1*p2*...*pm)。③容斥原理，|Sp1∪Sp2∪...∪Spm|=|Sp1|+|Sp2|+...+|Spm|-|Sp1∩Sp2|-...+|Sp1∩Sp2∩Sp3|...
对于m个质数，每个数有2种选法，共2^n,要排除掉一种所有的数都不选，所以一共有2^n-1种选法。可以通过枚举1~2^n-1中每个数的二进制，每个数的二进制对应一种选法，1表示选二进制该位上对应的p[j]，刚刚好有2^n-1种选法，1~2^n-1也刚好对应了2^n-1种不同的二进制数。由容斥原理的公式，当集合里是奇数个数对应的符号是'+',反之'-'。

ps:1~n中p的倍数的个数：n/p（向下取整）
C(k,1)-C(k,2)+C(k,3)-C(k,4)+...+(-1)^(k-1)C(k,k)=1
2^m可表示为：1<

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=20;
int p[M];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i>p[i];
	ll res=0;
	for(int i=1;i<1<>j&1) //当前二进制位数为1，说明对应的这个质数p[j]是可以选的
			{
				cnt++;//记录选了多少个区间
				if((ll)t*p[j]>n)//说明这种选法一定是不存在能被n整除的
				{
					t=-1;
					break;
				}
				t*=p[j];
			}
		}
		if(t!=-1)
		{
			if(cnt%2) res+=n/t;
			else res-=n/t;
		}
	}
	cout<