CVX用户指南之几何编程模式

几何程序（GP）是特殊的数学程序，可以使用变量的变化将其转换为凸形式。GP 的凸形式可以表示为 DCP，但 CVX 还提供了一种特殊模式，允许GP以其原生形式指定。CVX将自动执行必要的转换，计算数值解，并将结果转换回原始问题。

要使用 GP 模式，您必须使用 cvx_begin gp 或 cvx_begin GP 命令开始 CVX 规范，而不是简单地cvx_begin。例如，在示例库中gp/max_volume_box.m 找到以下代码，该代码确定受各种面积和比率约束的最大体积箱子：

cvx_begin gp
    variables w h d
    maximize( w * h * d )
    subject to
        2*(h*w+h*d) <= Awall;
        w*d <= Afloor;
        alpha <= h/w >= beta;
        gamma <= d/w <= delta;
cvx_end

如示例所示，CVX 支持使用加法、乘法、除法（如果适用）和幂来构造单项式和多项式。此外，CVX支持广义几何程序（GGP）的构造，允许使用广义多项式。有关广义几何程序参考教程‎‎。

我们强烈建议使用 Mosek 9.0 或更高版本（包括 CVX 2.2 及更高版本附带的版本）来求解几何程序。它对指数锥的原生支持确保了最佳的可靠性、准确性和速度。对于其他求解器，CVX 必须使用逐次逼近法中描述的逐次逼近技术。这意味着求解GP可能很慢，但对于中小型问题，该方法效果很好。

在本节的其余部分中，我们将介绍在 GP 模式下构造模型时应用的特定规则。

顶级规则

CVX 支持三种类型的几何程序：

最小化问题，由广义多项式目标和零个或多个约束组成。

最大化问题，由单项式目标和零个或多个约束组成。

可行性问题，由一个或多个约束组成。

最小化和最大化之间的不对称性-特别是后者只允许单项式目标-是GP和GGP不可避免的现象。

约束

在几何程序中可以指定三种类型的约束：

等式约束，使用 == 构造，其中两边都是单项式。

小于不等式约束<= 其中左侧是广义多项式，右侧是单项式。

大于不等式约束>=，其中左侧是单项式，右侧是广义多项式。

与DCP一样，不允许使用不相等的约束;虽然严格的不等式<，>得到支持，但它们被视为非严格的不等式，因此应避免。

表达式

广义几何编程的基本构建成分是单项式、多项式和广义多项式。有效的单项式是

一个已声明的变量;

两个或多个单项式的乘积;

两个单项式之比;

单项式的实数幂;或

调用以下具有单项式参数的函数之一：prod、cumprod、geo_mean、sqrt。

有效的多项式是

一个有效的单项式;

两个或多个多项式之和;

两个或多个多项式的乘积;

多项式和单项式之比;

多项式的正整数幂;或

调用以下具有多项式参数的函数之一：sum，cumsum，mean，prod，cumprod。

有效的广义多项式是

一个有效的多项式;

两个或多个广义多项式之和;

两个或多个广义多项式的乘积;

广义多项式和单项式之比;

广义多项式的正实数幂;或

调用以下具有广义多项式参数的函数之一：sum，cumsum，mean，prod，cumprod，geo_mean，sqrt，norm，sum_largest，norm_largest。

完全可以在 CVX 中创建和操作单项式、多项式和/或广义多项式数组。例如，两个单项式矩阵的乘积产生一个矩阵，其条目是多项式（或特殊情况下是单项式）。