【leetcode】300. 最长递增子序列(动态规划、二分法)

题目：

300. 最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
 
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int res = 0;
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        for(int n : nums){
            int i = Arrays.binarySearch(dp,0,res,n);
            if(i < 0){
                i = -(i+1);
            }
            dp[i] = n;
            if(i == res){
                res++;
            }
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度：O(n log n)空间复杂度：O(n) 方法二：动态规划

思路：

状态定义：

dp[i] 的值代表 nums 以nums[i] 结尾的最长子序列长度。

转移方程： 设 j∈[0,i)，考虑每轮计算新dp[i] 时，遍历 [0,i)列表区间，做以下判断：

①当 nums[i]>nums[j] 时： nums[i] 可以接在 nums[j] 之后（此题要求严格递增），此情况下最长上升子序列长度为 dp[j] + 1；
②当 nums[i] <= nums[j] 时： nums[i] 无法接在nums[j] 之后，此情况上升子序列不成立，跳过。

上述所有 1. 情况 下计算出的 dp[j] + 1 的最大值，为直到 i 的最长上升子序列长度（即 dp[i]）。实现方式为遍历 j 时，每轮执行 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。

初始状态：

dp[i]dp[i] 所有元素置 1，含义是每个元素都至少可以单独成为子序列，此时长度都为 1。

返回值：

返回 dpdp 列表最大值，即可得到全局最长上升子序列长度。

复杂度分析：
时间复杂度 O(N^2)：遍历计算 dp 列表需 O(N)，计算每个 dp[i]需O(N)。
空间复杂度 O(N) ： dp列表占用线性大小额外空间。

// Dynamic programming.
class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if(len == 0) return 0;
        int res = 0;
        int[]dp = new int[len];
        // 数组用1填充
        Arrays.fill(dp, 1);
        for(int i = 0; i < len;i++){
            for(int j = 0;j < i;j++) {
                if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i],(dp[j]+1));
            }
            // 记录每轮的dp[i]
            res = Math.max(res,dp[i]);
        } 
        return res;
    }
}