AcWing 3. 完全背包问题

参考题目：
AcWing 3. 完全背包问题

有 N N N 种物品和一个容量是 V V V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i i i 种物品的体积是 v i v_i vi​，价值是 w i w_i wi​。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

f[i][j]：只从前 i 个物品中选，且总体积不超过 j 的所有方案。答案为 f[n][m]属性：总价值的 Max 状态计算

选 0 个第 i 个物品选 1 个第 i 个物品…选 k 个第 i 个物品…即 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, f[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w , ...)观察 f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2 * v] + w, ...) 与上面从第2项开始相同只相差 w[i]综上 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]) 代码

朴素版：暴力三层循环

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

优化版一：少一层循环

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ ) // 完全背包需要正序循环
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
                
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

优化版二：滚动数组

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) // 完全背包正序循环
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
                
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}

参考资料
https://www.acwing.com/video/945/