Kruskal算法是一种构造最小生成树的算法。时间复杂度为 O ( ∣ E ∣ l o g ∣ E ∣ ) O(|E|log|E|) O(∣E∣log∣E∣)。Kruskal算法适合于边稀疏而顶点较多的图。
二、Kruskal算法原理 （1）初始时为只有n个顶点而无边的非连通图T，每个顶点自成一个连通分量。
（2）按照边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取过且权值最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入T，否则舍弃此边而选择下一条权值最小的边。换句话说，加入的边不能连成环。
（3）重复（2）步骤，直至T中所有顶点都在一个连通分量上。
构造图（a）的最小生成树过程如下：
（1）将边按权值大小排序：
< V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1，V3>：1
< V 4 ， V 6 V_{4}，V_{6} V4，V6>：2
< V 2 ， V 5 V_{2}，V_{5} V2，V5>：3
< V 3 ， V 6 V_{3}，V_{6} V3，V6>：4
< V 1 ， V 4 V_{1}，V_{4} V1，V4>：5
< V 2 ， V 3 V_{2}，V_{3} V2，V3>：5
< V 3 ， V 4 V_{3}，V_{4} V3，V4>：5
< V 1 ， V 2 V_{1}，V_{2} V1，V2>：6
< V 3 ， V 5 V_{3}，V_{5} V3，V5>：6
< V 5 ， V 6 V_{5}，V_{6} V5，V6>：6
（2）首先，将<
V
1
，
V
3
V_{1}，V_{3}
V1，V3>加入最小生成树中。（如图b所示）
（3）将<
V
4
，
V
6
V_{4}，V_{6}
V4，V6>加入最小生成树中。（如图c所示）
（4）将<
V
2
，
V
5
V_{2}，V_{5}
V2，V5>加入最小生成树中。（如图d所示）
（5）将<
V
3
，
V
6
V_{3}，V_{6}
V3，V6>加入最小生成树中。（如图e所示）
（6）此时最小权值的边为：<
V
1
，
V
4
V_{1}，V_{4}
V1，V4>、<
V
2
，
V
3
V_{2}，V_{3}
V2，V3>、<
V
3
，
V
4
V_{3}，V_{4}
V3，V4>，由于<
V
1
，
V
4
V_{1}，V_{4}
V1，V4>、<
V
3
，
V
4
V_{3}，V_{4}
V3，V4>成环，所以将<
V
2
，
V
3
V_{2}，V_{3}
V2，V3>加入最小生成树中。（如图f所示）
（7）边的数目=顶点数目-1，最小生成树构造完成。
package com.haiyang.algorithm.kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalCase {
private int edgeNum; //边的个数
private char[] vertexs; //顶点数组
private int[][] matrix; //邻接矩阵
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*B*/
{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
{ 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
//创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
//构造器
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
//初始化顶点, 复制拷贝的方式
this.vertexs = vertexs;
//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = matrix;
//统计边的条数
for(int i =0; i < vlen; i++) {
for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
if(this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];
//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
EData[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
//获取到第i条边的第2个顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
//是否构成回路
if(m != n) { //没有构成回路
ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
}
}
// 。
//统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
System.out.println("最小生成树为");
for(int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
//打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为: n");
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();//换行
}
}
private void sortEdges(EData[] edges) {
for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
EData tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j+1];
edges[j+1] = tmp;
}
}
}
}
private int getPosition(char ch) {
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if(vertexs[i] == ch) {//找到
return i;
}
}
//找不到,返回-1
return -1;
}
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for(int j=i+1; j = " + weight + "]";
}
}
