AcWing 887. 求组合数 III（Lucas定理）

组合数模板三：O(plog{2,n})，本题还要在此基础上乘最多20组测试数据

前置知识：组合数基本定义

解决核心：卢卡斯定理

时间复杂度：

问题：

所以对于本题来说，n<=1e18（组合数下界），则logn ≈ 60（以2为底），时间复杂度为60*1e5 = 6e6，但是由于有最多20组询问，因此最终算出来是1.2e8，虽然一秒内无法算出，但是可能题目设置的数据不是很强，所以能过。写法一是比视频中更为优化的写法。

一个要注意的点：

写法一：更优美的写法

其实优化之处就是在于把原本每次for循环都要qmi求的逆元优化到最后一步返回值的时候来求解（是对于C函数的改编）

#include

using namespace std;

#define int long long

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res = res*a%p;
        a = a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int C(int a, int b, int p)
{
    if(a < b) return 0;
    
    int down = 1, up = 1;
    for(int i=a, j=1; j<=b; i--, j++)
    {
        up = up * i % p;
        down = down * j % p;
    }

    return up * qmi(down, p-2, p) % p;//其实优化之处就是把原本每次for循环都要qmi求的逆元优化到最后一步返回值的时候来求解
}

int lucas(int a,int b,int p)//lucas定理，套公式即可
{
    if(a
> n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        int p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a,b,p) << endl;
    }
    return 0;
}

写法二：yls的写法

#include

using namespace std;

#define int long long

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res = res*a%p;
        a = a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

int C(int a,int b,int p)//从定义出发来编写的函数
{
    int res = 1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--)
    {
        res = res*j%p;//乘分子：a * (a-1) * .... * (a-b+1)
        res = res*qmi(i,p-2,p)%p;//除分母：原本是除上i，这里要转为乘上i的逆元，逆元结合费马小定理用快速幂来计算
    }
    return res;
}

int lucas(int a,int b,int p)//lucas定理，套公式即可
{
    if(a
> n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        int p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a,b,p) << endl;
    }
    return 0;
}