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运筹学系列(一)纳什均衡与最大最小博弈

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运筹学系列(一)纳什均衡与最大最小博弈

一、无占优策略情况——两个纳什均衡&一个最大最小策略

    纳什均衡:
    (1)对于厂商2:若厂商1无新品,最优选择为有新品(6>4);若厂商1有新品,最优选择为无新品(3>2)。
    (2)对于厂商1:若厂商2无新品,最优选择为有新品(6>4);若厂商2有新品,最优选择为无新品(3>2)。
    因此纳什均衡有两个:(3,6)&(6,3)。

    最大最小博弈(保最优底):
    (1)对于厂商2:如果自己无新品,自己最小收益为3(3<4);如果自己有新品,自己最小收益为2(2<6)。所以最优选择为无新品(3>2)。
    (2)对于厂商1:如果自己无新品,自己最小收益为3(3<4);如果自己有新品,自己最小收益为2(2<6)。所以最优选择为无新品(3>2)。
    因此最大最小策略有一个:(4,4)。

二、有占优策略情况——一个纳什均衡&一个最大最小策略

    纳什均衡:
    (1)对于乙方:若甲方选上,最优选择为右(1>0);若甲方选下,最优选择还是右(1>0)。所以右是乙方的占优策略。
    (2)对于甲方:已知乙方一定会选右,甲方应该选下(2>1)。
    因此纳什均衡有一个:(2,1)。

    最大最小博弈(保最优底):
    (1)对于乙方:若自己选左,自己最小收益为0(0=0);若自己选右,自己最小收益为1(1=1)。所以最优选择为右(1>0)。
    (2)对于甲方:若自己选上,自己最小收益为0(1=1);若自己选下,自己最小收益为-8(-8<2)。所以最优选择为上(1>-8)。
    因此最大最小策略有一个:(1,1)。

这种情形下可以清晰地解释下最大最小博弈策略的必要性:
对于甲方:
(a)甲方知道如果乙方是理性人,会选择占优策略右,得到收益1,那么自己应该选择下,得到收益2,但是这样甲方的收益就大于乙方(2>1);
(b)乙方是能预料到这个结果的,如果乙方不想让甲方优于自己,想让甲方吃亏,基于甲方会选下的判断,改选左,让甲方的收益从2变成-8,而乙方自己只是从1变成0;
(c)为了预防(b)中乙方的小动作,甲方应该选择一个保守策略—上,这样虽然无法得到收益2,却也预防了收益-8,最终取得收益1的结果。

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