本章讨论一阶常微分方程初值问题的数值解
{
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
a
≤
x
≤
b
y
(
a
)
=
η
left{ begin{aligned} &y^{'} = f(x, y), a le x le b \ &y(a) = eta end{aligned} right.
{y′=f(x,y), a≤x≤by(a)=η
假设
- f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， ∂ f ( x , y ) ∂ y frac{partial f(x, y)}{partial y} ∂y∂f(x,y) 连续
- 上式存在唯一解 y ( x ) y(x) y(x) 且在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上充分光滑
离散化：将 [ a , b ] [a,b] [a,b] 作 n n n 等分，记 h = b − a n h=frac{b-a}{n} h=nb−a， x i = a + i h , ( i = 0 , 1 , . . . , n ) x_i=a+ih, (i=0,1,...,n) xi=a+ih, (i=0,1,...,n)。称 h h h 为步长，数值解为求初值问题的解 y ( x ) y(x) y(x) 在离散点 x i x_i xi 处的近似值 y i y_i yi
- 计算 y i + 1 y_{i+1} yi+1 时，如果只用到前一步的值 y i y_i yi，称这类方法为单步法
- 计算 y i + 1 y_{i+1} yi+1 时，如果用到前 r 步的值 y i , y i − 1 , . . . , y i − r + 1 y_i,y_{i-1},...,y_{i-r+1} yi,yi−1,...,yi−r+1，这类方法称为 r 步方法
Euler 公式：
- y i + 1 = y i + h f ( x i , y i ) , i = 0 , 1 , . . . , n − 1 y_{i+1}=y_i+hf(x_i,y_i), i=0,1,...,n-1 yi+1=yi+hf(xi,yi), i=0,1,...,n−1（单步显式公式）
- 局部截断误差： R i + 1 = y ( x i + 1 ) − [ y ( x i ) + h f ( x i , y ( x i ) ) ] = 1 2 h 2 y ′ ′ ( ξ i ) , ξ i ∈ ( x i , x i + 1 ) R_{i+1}=y(x_{i+1})-[y(x_i)+hf(x_i,y(x_i))]=frac{1}{2}h^2y^{''}(xi_i),xi_i in (x_i, x_{i+1}) Ri+1=y(xi+1)−[y(xi)+hf(xi,y(xi))]=21h2y′′(ξi),ξi∈(xi,xi+1)
- 若 R i + 1 = O ( h p + 1 ) R_{i+1}=O(h^{p+1}) Ri+1=O(hp+1)，则称该公式是 p 阶的，或具有 p 阶精度。Euler 公式是 1 阶的
后退 Euler 公式：
- y i + 1 = y i + h f ( x i + 1 , y i + 1 ) , i = 0 , 1 , . . , n − 1 y_{i+1}=y_i+hf(x_{i+1}, y_{i+1}), i=0,1,..,n-1 yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1), i=0,1,..,n−1（单步隐式公式）
- 局部截断误差： R i + 1 = y ( x i + 1 ) − y ( x i ) − h f ( x i + 1 , y ( x i + 1 ) ) = − h 2 2 y ′ ′ ( ξ i ) , ξ i ∈ ( x i , x i + 1 ) R_{i+1}=y(x_{i+1})-y(x_i)-hf(x_{i+1},y(x_{i+1}))=-frac{h^2}{2}y^{''}(xi_i),xi_i in (x_i, x_{i+1}) Ri+1=y(xi+1)−y(xi)−hf(xi+1,y(xi+1))=−2h2y′′(ξi),ξi∈(xi,xi+1)
- 后退 Euler 公式是 1 阶的
利用梯形公式的 Euler 公式：
- y i + 1 = y i + h 2 [ f ( x i , y i ) + f ( x i + 1 , y i + 1 ) ] , i = 0 , 1 , . . . , n − 1 y_{i+1}=y_i+frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1}, y_{i+1})], i=0,1,...,n-1 yi+1=yi+2h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)], i=0,1,...,n−1（单步隐式公式）
- 局部截断误差： R i + 1 = y ( x i + 1 ) − y ( x i ) − h 2 [ f ( x i , y ( x i ) ) + f ( x i + 1 , y ( x i + 1 ) ) ] = − 1 12 y ′ ′ ′ ( ξ i ) h 3 , ξ i ∈ ( x i , x i + 1 ) R_{i+1}=y(x_{i+1})-y(x_i)-frac{h}{2}[f(x_i,y(x_i))+f(x_{i+1},y(x_{i+1}))]=-frac{1}{12}y^{'''}(xi_i)h^3,xi_i in (x_i, x_{i+1}) Ri+1=y(xi+1)−y(xi)−2h[f(xi,y(xi))+f(xi+1,y(xi+1))]=−121y′′′(ξi)h3,ξi∈(xi,xi+1)
- 该 Euler 公式是 2 阶的
改进 Euler 公式：
{
y
i
+
1
(
p
)
=
y
i
+
h
f
(
x
i
,
y
i
)
预
测
公
式
y
i
+
1
=
y
i
+
h
2
[
f
(
x
i
,
y
i
)
+
f
(
x
i
+
1
,
y
i
+
1
(
p
)
)
]
校
正
公
式
left{ begin{aligned} y_{i+1}^{(p)} &= y_i+hf(x_i, y_i) 预测公式\ y_{i+1} &= y_i+frac{h}{2}[f(x_i, y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1}^{(p)})] 校正公式 end{aligned} right.
⎩⎪⎨⎪⎧yi+1(p)yi+1=yi+hf(xi,yi) 预测公式=yi+2h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1(p))] 校正公式
- 该公式是单步显式公式，其阶为 2 阶
- 局部误差： R i + 1 = y ( x i + 1 ) − y ( x i ) − { h 2 [ f ( x i , y ( x i ) ) + f ( x i + 1 , y ( x i ) + h f ( x i , y ( x i ) ) ) ] } R_{i+1}=y(x_{i+1})-y(x_i)-{frac{h}{2}[f(x_i,y(x_i))+f(x_{i+1},y(x_i)+hf(x_i, y(x_i)))]} Ri+1=y(xi+1)−y(xi)−{2h[f(xi,y(xi))+f(xi+1,y(xi)+hf(xi,y(xi)))]}，计算可通过泰勒展开来处理
整体截断误差：
设当步长为
h
h
h 时某种数值方法求得的数值解为
y
1
[
h
]
,
y
2
[
h
]
,
.
.
.
,
y
n
[
h
]
y_1^{[h]},y_2^{[h]},...,y_n^{[h]}
y1[h],y2[h],...,yn[h]，其中
y
(
x
i
)
,
y
i
[
h
]
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
y(x_i),y_i^{[h]},i=1,2,...,n
y(xi),yi[h],i=1,2,...,n，分别为精确解和数值解，则称
E
(
h
)
=
max
i
≤
i
≤
n
∣
y
(
x
i
)
−
y
i
[
h
]
∣
E(h) = max_{i le i le n}|y(x_i)-y_i^{[h]}|
E(h)=i≤i≤nmax∣y(xi)−yi[h]∣
为该数值方法的整体截断误差。若
lim
h
→
0
E
(
h
)
=
0
lim_{hrightarrow 0}E(h)=0
limh→0E(h)=0 则称该方法收敛
构造思想：
由
y
(
x
i
+
1
)
=
y
(
x
i
)
+
∫
x
i
x
i
+
1
f
(
x
,
y
(
x
)
)
d
x
y(x_{i+1})=y(x_i)+int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x,y(x))dx
y(xi+1)=y(xi)+∫xixi+1f(x,y(x))dx 可得
y
(
x
i
+
1
)
=
y
(
x
i
)
+
h
f
(
x
i
+
θ
h
,
y
(
x
i
+
θ
h
)
)
,
θ
∈
(
0
,
1
)
y(x_{i+1})=y(x_i)+hf(x_i+theta h,y(x_i+theta h)), theta in (0, 1)
y(xi+1)=y(xi)+hf(xi+θh,y(xi+θh)), θ∈(0,1)
称
f
(
x
i
+
θ
h
,
y
(
x
i
+
θ
h
)
)
f(x_i+theta h,y(x_i+theta h))
f(xi+θh,y(xi+θh)) 为
y
(
x
)
y(x)
y(x) 在
[
x
i
,
x
i
+
1
]
[x_i, x_{i+1}]
[xi,xi+1] 上的平均斜率，记为
k
∗
k^*
k∗
记 k 1 = f ( x i , y i ) k_1=f(x_i,y_i) k1=f(xi,yi)， k 2 = f ( x i + 1 , y i + h k 1 ) k_2=f(x_{i+1},y_i+hk_1) k2=f(xi+1,yi+hk1)，若用 k 1 k_1 k1 近似 k ∗ k^* k∗，则得一阶 Euler 公式；若用 k 1 + k 2 2 frac{k_1+k_2}{2} 2k1+k2 近似 k ∗ k^* k∗，则得二阶改进的 Euler 公式
一般 r 级 Runge-Kutta 公式：
{
y
i
+
1
=
y
i
+
h
∑
j
=
1
r
α
j
k
j
k
1
=
f
(
x
i
,
y
i
)
k
j
=
f
(
x
i
+
λ
j
h
,
y
i
+
h
∑
l
=
1
j
−
1
μ
j
l
k
l
)
,
j
=
2
,
3
,
.
.
.
,
r
left{ begin{aligned} y_{i+1} &= y_i+hsum_{j=1}^ralpha_jk_j \ k_1 &= f(x_i, y_i) \ k_j &= f(x_i+lambda_jh,y_i+hsum_{l=1}^{j-1}mu_{jl}k_l), j=2,3,...,r end{aligned} right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧yi+1k1kj=yi+hj=1∑rαjkj=f(xi,yi)=f(xi+λjh,yi+hl=1∑j−1μjlkl), j=2,3,...,r
选择参数
α
j
alpha_j
αj，
λ
j
lambda_j
λj，
μ
j
l
mu_{jl}
μjl 使其具有一定的阶数
2 阶 Runge-Kutta 公式：
(
式
0
)
{
y
i
+
1
=
y
i
+
h
(
α
1
k
1
+
α
2
k
2
)
k
1
=
f
(
x
i
,
y
i
)
k
2
=
f
(
x
i
+
λ
2
h
,
y
i
+
h
μ
21
k
1
)
(式0)left{ begin{aligned} y_{i+1} &= y_i+h(alpha_1k_1+alpha_2k_2) \ k_1 &= f(x_i, y_i) \ k_2 &= f(x_i+lambda_2h,y_i+hmu_{21}k_1) end{aligned} right.
(式0)⎩⎪⎨⎪⎧yi+1k1k2=yi+h(α1k1+α2k2)=f(xi,yi)=f(xi+λ2h,yi+hμ21k1)
其截断误差为：
{
R
i
+
1
=
y
(
x
i
+
1
)
−
y
(
x
i
)
−
h
(
α
1
K
1
+
α
2
K
2
)
K
1
=
f
(
x
i
,
y
(
x
i
)
)
K
2
=
f
(
x
i
+
λ
2
h
,
y
(
x
i
)
+
h
μ
21
K
1
)
left{ begin{aligned} R_{i+1} &= y(x_{i+1})-y(x_i)-h(alpha_1K_1+alpha_2K_2) \ K_1 &= f(x_i, y(x_i)) \ K_2 &= f(x_i+lambda_2h, y(x_i)+hmu_{21}K_1) end{aligned} right.
⎩⎪⎨⎪⎧Ri+1K1K2=y(xi+1)−y(xi)−h(α1K1+α2K2)=f(xi,y(xi))=f(xi+λ2h,y(xi)+hμ21K1)
注：可通过泰勒展开来处理上述截断误差
要使式 0 具有 2 阶精度，则
{
1
−
α
1
−
α
2
=
0
1
2
−
α
2
λ
2
=
0
1
2
−
α
2
μ
21
=
0
left{ begin{aligned} &1- alpha_1 - alpha_2 = 0 \ &frac{1}{2} - alpha_2 lambda_2 = 0 \ &frac{1}{2} - alpha_2 mu_{21} = 0 end{aligned} right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧1−α1−α2=021−α2λ2=021−α2μ21=0
显然
α
2
alpha_2
α2 不能为 0，则
{
α
1
=
1
−
α
2
λ
2
=
1
2
α
2
μ
21
=
1
2
α
2
left{ begin{aligned} &alpha_1 = 1 - alpha_2 \ &lambda_2 = frac{1}{2alpha_2} \ &mu_{21} = frac{1}{2alpha_2} end{aligned} right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧α1=1−α2λ2=2α21μ21=2α21
从而可得一类 2 阶 Runge-Kutta 公式
{
y
i
+
1
=
y
i
+
h
[
(
1
−
α
2
)
k
1
+
α
2
k
2
]
k
1
=
f
(
x
i
,
y
i
)
k
2
=
f
(
x
i
+
1
2
α
2
h
,
y
i
+
1
2
α
2
h
k
1
)
left{ begin{aligned} &y_{i+1} = y_i + h[(1-alpha_2)k_1+alpha_2k_2] \ &k_1 = f(x_i, y_i) \ &k_2 = f(x_i+frac{1}{2alpha_2}h, y_i+frac{1}{2alpha_2}hk_1) end{aligned} right.
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧yi+1=yi+h[(1−α2)k1+α2k2]k1=f(xi,yi)k2=f(xi+2α21h,yi+2α21hk1)
当
α
2
=
1
2
alpha_2=frac{1}{2}
α2=21，得改进的 Euler 公式。当
α
2
=
1
alpha_2=1
α2=1，得变形的 Euler 公式
考虑单步显式公式
(
式
1
)
{
y
i
+
1
=
y
i
+
h
φ
(
x
i
,
y
i
,
h
)
,
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
y
0
=
η
(式1) left{ begin{aligned} &y_{i+1} = y_i + hvarphi(x_i,y_i,h), i=0,1,...,n-1 \ &y_0 = eta end{aligned} right.
(式1) {yi+1=yi+hφ(xi,yi,h), i=0,1,...,n−1y0=η
本章讨论一阶常微分方程初值问题的数值解
(
式
2
)
{
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
a
≤
x
≤
b
y
(
a
)
=
η
(式2) left{ begin{aligned} &y^{'} = f(x,y), a le x le b \ &y(a) = eta end{aligned} right.
(式2) {y′=f(x,y), a≤x≤by(a)=η
收敛性：
设 y ( x ) y(x) y(x) 是上述微分方程的解（式2）， { y i } i = 0 n {y_i}_{i=0}^n {yi}i=0n 为单步显式公式（式1）的解。如果
- 存在常数 c 0 > 0 c_0>0 c0>0，使得 ∣ R i + 1 ∣ ≤ c 0 h p + 1 , i = 0 , 1 , . . . , n − 1 |R_{i+1}|le c_0h^{p+1}, i=0,1,...,n-1 ∣Ri+1∣≤c0hp+1, i=0,1,...,n−1 => 至少 p p p 阶
- 存在
h
0
>
0
,
L
>
0
h_0 gt 0,L gt 0
h0>0,L>0，使得
max
(
x
,
y
)
∈
D
δ
,
0
<
h
≤
h
0
∣
∂
φ
(
x
,
y
,
h
)
∂
y
∣
≤
L
max_{(x,y)in D_delta,0 lt h le h_0}|frac{partialvarphi(x,y,h)}{partial y}| le L
max(x,y)∈Dδ,0
则当 h ≤ min { h 0 , δ c p } h le min{h_0, sqrt[p]{frac{delta}{c}}} h≤min{h0,pcδ } 时，有 E ( h ) ≤ c h p E(h) le ch^p E(h)≤chp
其中 D δ = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , y ( x ) − δ ≤ y ≤ y ( x ) + δ } D_delta = {(x, y)|a le x le b,y(x)-delta le y le y(x)+delta } Dδ={(x,y)∣a≤x≤b,y(x)−δ≤y≤y(x)+δ}， c = c 0 L [ e L ( b − a ) − 1 ] c=frac{c_0}{L}[e^{L(b-a)}-1] c=Lc0[eL(b−a)−1]
稳定性：
对于上述初值问题（式2），设
{
y
i
}
i
=
0
n
{y_i}_{i=0}^n
{yi}i=0n 是由上述单步法（式1）得到得近似解，
{
z
i
}
i
=
0
n
{z_i}_{i=0}^n
{zi}i=0n 是单步法（式1）扰动后的解，即满足
{
z
i
+
1
=
z
i
+
h
[
φ
(
x
i
,
y
i
,
h
)
+
δ
i
+
1
]
,
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
z
0
=
η
+
δ
0
left{ begin{aligned} &z_{i+1} = z_i + h[varphi(x_i,y_i,h)+delta_{i+1}], i=0,1,...,n-1 \ &z_0 = eta + delta_0 end{aligned} right.
{zi+1=zi+h[φ(xi,yi,h)+δi+1], i=0,1,...,n−1z0=η+δ0
如果存在正常数
C
C
C，
ϵ
0
epsilon_0
ϵ0，
h
0
h_0
h0，使得对所有
ϵ
∈
(
0
,
ϵ
0
]
epsilon in (0,epsilon_0]
ϵ∈(0,ϵ0]，
h
∈
(
0
,
h
0
]
h in (0, h_0]
h∈(0,h0]，当
max
0
≤
i
≤
n
∣
δ
i
∣
≤
ϵ
max_{0 le i le n}|delta_i| le epsilon
max0≤i≤n∣δi∣≤ϵ 时，有
max
0
≤
i
≤
n
∣
y
i
−
z
i
∣
≤
C
ϵ
max_{0 le i le n}|y_i-z_i| le C epsilon
0≤i≤nmax∣yi−zi∣≤Cϵ
则称单步法（式1）稳定。在满足收敛性的条件下，单步公式（式1）是稳定的
一般的线性 k 步方法为
y
i
+
1
=
∑
j
=
0
k
−
1
a
j
y
i
−
j
+
h
∑
j
=
−
1
k
−
1
b
j
f
(
x
i
−
j
,
y
i
−
j
)
y_{i+1}=sum_{j=0}^{k-1}a_jy_{i-j}+hsum_{j=-1}^{k-1}b_jf(x_{i-j},y_{i-j})
yi+1=j=0∑k−1ajyi−j+hj=−1∑k−1bjf(xi−j,yi−j)
其中
a
k
−
1
a_{k-1}
ak−1，
b
k
−
1
b_{k-1}
bk−1 不同时为零。当
b
−
1
=
0
b_{-1}=0
b−1=0 时为显式公式；当
b
−
1
≠
0
b_{-1} ne 0
b−1=0 时为隐式公式
- Adams 显式公式
- y i + 1 = y i + h ∑ j = 0 r β r j f ( x i − j , y i − j ) y_{i+1} = y_i + hsum_{j=0}^r beta_{rj}f(x_{i-j}, y_{i-j}) yi+1=yi+h∑j=0rβrjf(xi−j,yi−j)
- 截断误差： R i + 1 = α r + 1 h r + 2 y ( r + 2 ) ( ξ i ) R_{i+1}=alpha_{r+1}h^{r+2}y^{(r+2)}(xi_i) Ri+1=αr+1hr+2y(r+2)(ξi)
- (r+1) 步、(r+1) 阶显式的 Adams 公式
- 当 r = 0 r=0 r=0 时得 Euler 公式 y i + 1 = y i + h f ( x i , y i ) y_{i+1} = y_i+hf(x_i,y_i) yi+1=yi+hf(xi,yi)
其中
β
r
j
beta_{rj}
βrj 和
α
r
+
1
alpha_{r+1}
αr+1 定义如下
β
r
j
=
∫
0
1
∏
l
=
0
,
l
≠
j
r
l
+
t
l
−
j
d
t
,
j
=
0
,
1
,
.
.
.
,
r
α
r
+
1
=
1
(
r
+
1
)
!
∫
0
1
∏
j
=
0
r
(
j
+
t
)
d
t
begin{aligned} &beta_{rj} = int_0^1 prod_{l=0,l ne j}^r frac{l+t}{l-j}dt, j=0,1,...,r \ &alpha_{r+1} = frac{1}{(r+1)!}int_0^1 prod_{j=0}^r (j+t) dt end{aligned}
βrj=∫01l=0,l=j∏rl−jl+tdt, j=0,1,...,rαr+1=(r+1)!1∫01j=0∏r(j+t)dt
- Adams 隐式公式
- y i + 1 = y i + h ∑ j = − 1 r − 1 β ‾ r j f ( x i − j , y i − j ) y_{i+1} = y_i + hsum_{j=-1}^{r-1} overline beta_{rj}f(x_{i-j}, y_{i-j}) yi+1=yi+h∑j=−1r−1βrjf(xi−j,yi−j)
- 截断误差： R i + 1 = α ‾ r + 1 h r + 2 y ( r + 2 ) ( ξ ‾ i ) R_{i+1}=overline alpha_{r+1}h^{r+2}y^{(r+2)}(overline xi_i) Ri+1=αr+1hr+2y(r+2)(ξi)
- r 步、(r+1) 阶隐式的 Adams 公式
- 当 r = 1 r=1 r=1 时得梯形公式 y i + 1 = y i + h 2 [ f ( x i + 1 , y i + 1 ) + f ( x i , y i ) ] y_{i+1} = y_i+frac{h}{2}[f(x_{i+1}, y_{i+1})+f(x_i, y_i)] yi+1=yi+2h[f(xi+1,yi+1)+f(xi,yi)]
其中
β
‾
r
j
overline{beta}_{rj}
βrj 和
α
‾
r
+
1
overline{alpha}_{r+1}
αr+1 定义如下
β
‾
r
j
=
∫
0
1
∏
l
=
−
1
,
l
≠
j
r
−
1
l
+
t
l
−
j
d
t
,
j
=
0
,
1
,
.
.
.
,
r
α
‾
r
+
1
=
1
(
r
+
1
)
!
∫
0
1
∏
j
=
−
1
r
−
1
(
j
+
t
)
d
t
begin{aligned} &overline{beta}_{rj} = int_0^1 prod_{l=-1,l ne j}^{r-1} frac{l+t}{l-j}dt, j=0,1,...,r \ &overline{alpha}_{r+1} = frac{1}{(r+1)!} int_0^1 prod_{j=-1}^{r-1}(j+t)dt end{aligned}
βrj=∫01l=−1,l=j∏r−1l−jl+tdt, j=0,1,...,rαr+1=(r+1)!1∫01j=−1∏r−1(j+t)dt
- Adams 预测校正公式：将同阶（以下是 2 阶公式结合）的显式 Adams 公式和隐式 Adams 公式结合起来
{ y i + 1 ( p ) = y i + h 2 [ 3 f ( x i , y i ) − f ( x i − 1 , y i − 1 ) ] y i + 1 = y i + h 2 [ f ( x i + 1 , y i + 1 ( p ) ) + f ( x i , y i ) ] left{ begin{aligned} y_{i+1}^{(p)} &= y_i + frac{h}{2}[3f(x_i, y_i)-f(x_{i-1}, y_{i-1})] \ y_{i+1} &= y_i + frac{h}{2}[f(x_{i+1},y_{i+1}^{(p)})+f(x_i, y_i)] end{aligned} right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧yi+1(p)yi+1=yi+2h[3f(xi,yi)−f(xi−1,yi−1)]=yi+2h[f(xi+1,yi+1(p))+f(xi,yi)]
基于 Taylor 展开得待定系数法- 若有 f ( x , y ( x ) ) f(x,y(x)) f(x,y(x))，可考虑将其转化为 y ′ ( x ) y^{'}(x) y′(x)
- 利用泰勒展开，将式子展开，如下
y ( x i − j ) = y ( x i − j h ) = y ( x i ) + ( − j h ) y ′ ( x i ) + ( − j h ) 2 2 ! y ′ ′ ( x i ) + . . . begin{aligned} &y(x_{i-j}) = y(x_i - jh) = y(x_i) + (-jh)y^{'}(x_i) + frac{(-jh)^2}{2!}y^{''}(x_i)+... \ end{aligned} y(xi−j)=y(xi−jh)=y(xi)+(−jh)y′(xi)+2!(−jh)2y′′(xi)+...
- 合并阶数相同的项
- 若要求得的阶为 p p p，则令阶小于 p p p 的项的系数为 0，然后求解相应的系数即可
