斐波那契数列(C语言+java)

斐波那契数列这到题出自《剑指Offer》

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

C语言的很多教科书上，或者是大学老师在讲递归的时候，经常会拿斐波那契数列来讲解递归。会直接写出下面这个低效的代码。

int Fibonacci(int n ) {
    if (n <= 2) {
        return n;
    }
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

public int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }

这样的代码是可以达到解题问题，但是如果数字过大可能就会出现爆栈的情况，如果在本地VS或者IDE上好久都算不出来。这样的写法导致效率非常低。

如下图所示：
我们发现递归的程度越深，出现的重复计算就越多。比如f(10)中，f(4)、f(5)就被重复计算了多次，可以想象如果求第100个数会有多慢。

思路一中出现太多的重复计算，导致递归的时间复杂度非常的高。我们就可以采用"剪枝"的操作，避免一些重复的计算。C语言可以直接定义一个数组来保存一下已经计算过的数，Java可以用Map。

int arr[100] = { 0 };
int Fibonacci(int n ) {
    if (n <= 2) {
         return 1;
    }
    if (arr[n] > 0) {
        return arr[n];
    }
    return arr[n] = (Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2));
}

import java.util.*;
public class Solution {
    HashMap map = new HashMap<>();
    public int Fibonacci(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        //判断n-1位置是否已经被计算过了
        int start = 0;
        if (!map.containsKey(n-1)) {
            start = Fibonacci(n-1);
            map.put(n-1,start);
        }else {
            start = map.get(n-1);
        }
        int end = 0;
        //判断n-2位置是否已经被计算过了
        if (!map.containsKey(n-2)) {
            end = Fibonacci(n-2);
            map.put(n-2,end);
        }else {
            end = map.get(n-2);
        }
        
        return start + end;
    }
}

采用动归思想，通过公式利用循环直接解决。

int Fibonacci(int n ) {
    if (n == 0) {
            return 0;
    }
    int first = 1;
    int last = 1;
    int reslut = 1;
    while (n > 2) {
        first = last;
        last = reslut;
        reslut = first+last;
        n--;
    }
    return reslut;
}

public int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        int first = 1;
        int last = 1;
        int reslut = 1;
        while (n > 2) {
            first = last;
            last = reslut;
            reslut = first+last;
            n--;
        }
        return reslut;
    }