[Java学习] 最小生成树——Prim算法

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百度百科上对于最小生成树的定义是这样的：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

通俗的解释最小生成树包括以下两点：(1) 最小；(2) 树。

对于树的概念，必须满足以下两条性质：
（1）图中没有任何环；
（2）必须连接所有顶点且都是互通的；
故，对于一个有N个顶点的树，他有N-1条边。

接下来是最小。一个图会有若干个生成树，我们把这些生成树边的权值相加称为权值和。不同的生成树会有不同的权值和，而最小生成树就是权值和最小的那棵树。

生成树的示意图如下：

求解最小生成树有两种算法：Prim算法，Kruskal算法，本篇主要介绍一下Prim算法。

prim 算法采用的是一种贪心的策略。

每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。

我们将图中各个节点用数字 1 ~ n 编号。

要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：

(1) 用一个 st 数组表示节点是否已经连通。st[i] 为真，表示已经连通，st[i] 为假，表示还没有连通。初始时，state 各个元素为假。即所有点还没有连通。
用一个 dist 数组保存各个点到连通部分的最短距离，dist[i] 表示 i 节点到连通部分的最短距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
用一个 pre 数组保存节点的是和谁连通的。pre[i] = k 表示节点 i 和节点 k 之间需要有一条边。初始时，pre 的各个元素置为 -1。

(2) 从 1 号节点开始扩充连通的部分，所以 1 号节点与连通部分的最短距离为 0，即disti[1] 置为 0。

(3)遍历 dist 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 i。i节点就是下一个应该加入连通部分的节点，st[i] 置为 1。
用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。
这里青色点中距离最小的是 dist[1]，因此 st[1] 置为 1。

(4) 遍历所有与 i 相连但没有加入到连通部分的点 j，如果 j 距离连通部分的距离大于 i j 之间的距离，即 dist[j] > w[i][j]（w[i][j] 为 i j 节点之间的距离），则更新 dist[j] 为 w[i][j]。这时候表示，j 到连通部分的最短方式是和 i 相连，因此，更新pre[j] = i。
与节点 1 相连的有 2， 3， 4 号节点。1->2 的距离为 100，小于 dist[2]，dist[2] 更新为 100，pre[2] 更新为1。1->4 的距离为 140，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 140，pre[2] 更新为1。1->3 的距离为 150，小于 dist[3]，dist[3] 更新为 150，pre[3] 更新为1。

(5) 重复 3 4步骤，直到所有节点的状态都被置为 1.
这里青色点中距离最小的是 dist[2]，因此 st[2] 置为 1。

与节点 2 相连的有 5， 4号节点。2->5 的距离为 80，小于 dist[5]，dist[5] 更新为 80，pre[5] 更新为 2。2->4 的距离为 80，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 80，pre[4] 更新为2。

选dist[4]，更新dist[3]，dist[5]，pre[3]，pre[5]。

选dist[5]，没有可更新的.

选dist[3]，没有可更新的。

(6)此时 dist 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。pre 数组中保存了需要选择的边。

给定一个 n n n 个点 m m m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 i m p o s s i b l e impossible impossible。

代码如下：

import java.io.*;
import java.util.*;

class Main {
    public static int N = 510;
    public static int INF = 0x3f3f3f;
    public static int n, m;
    public static int[][] g = new int[N][N];
    public static int[] dist = new int[N];
    public static boolean[] st = new boolean[N];

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader bufferedReader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] str1 = bufferedReader.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(str1[0]);
        m = Integer.parseInt(str1[1]);

        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            Arrays.fill(g[i], INF);
        }

        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            String[] str2 = bufferedReader.readLine().split(" ");
            int a = Integer.parseInt(str2[0]);
            int b = Integer.parseInt(str2[1]);
            int c = Integer.parseInt(str2[2]);

            g[a][b] = g[b][a] = Math.min(g[a][b], c);
        }

        int t = prim();
        if (t == INF) {
            System.out.println("impossible");
        } else {
            System.out.println(t);
        }
        bufferedReader.close();
    }

    public static int prim() {
        Arrays.fill(dist, INF);
        int res = 0;

        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            int t = -1;
            for (int j = 1; j <= n; j ++) {
                if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) {
                    t = j;
                }
            }
            if (i != 0 && dist[t] == INF) {
                    return INF;
                }
            if (i != 0) {
                    res += dist[t];
                }
            st[t] = true;
            for (int j = 1; j <= n; j ++) {
                dist[j] = Math.min(dist[j], g[t][j]);
            }
        }
        return res;
    }
}

代码实现和Dijkstra算法很像，思想也比较类似，因此可以对比记忆。