学习数据结构笔记(17) --- [动态规划(由背包问题引入)]

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• • 1.情景引入
  • 2.背包问题分析
  • 3.背包问题的解决

一个简单的0-1背包问题;规定背包的最大容量是4公斤;并且放入背包的物品不能重复,怎么样让背包的物品价值量最大化?

动态规划算法的思想也是将复杂问题规划分解为小问题,但是和分治算法不同的地方是,
动态规划算法分解得到的子问题有递进关系;子问题的最优解会成为最终的解;
可以这么看;分解得到的子问题的求解是建立在上一个阶段子问题的求解基础上;这些子问题不是相互独立的;

接着回到之前的背包问题;

首先,背包问题就是给定一个固定容量的背包,多个具有不同价值的物品;如何让背包的价值最大?
背包问题可分为01背包问题和完全背包问题;
01背包:规定放入背包的每种物品不能重复;
完全背包:放入背包的每种物品数量可不限数量;
实际上无限背包问题可转换为01背包问题

回到这个问题

对于这个问题,直接写公式的话不利于理解;
可以先进行填表式的分解;

先假设将背包的容量分为0,1,2,3,4;逐个添加物品;
(1)只有电脑一种物品时,背包容量再怎么递增,价值也只能是6000;
(2)物品为电脑和电子琴时,介于电子琴的重量为4,所以在背包容量为4时,会比较上一步的背包容量为4时的最优解;这时发现电子琴的价值大,则将电子琴放入背包;
(3)物品为电脑,电子琴和游戏机时;在背包容量为3时,会比较上一步子问题背包容量为3的最优解,这时比较发现将重量为1的电脑放入可实现价值最大,当背包容量为4时,同样会进行比较上一步背包容量为4时的最优解;

那么再进行转换,让 i表示 增加的第几个物品; j表示哪个容量的背包(这里背包的容量是递增的)
v(i) 表示当前 第 i 个物品的价值 ;
w(i)表示当前 第 i 个物品的重量 ;
那么v(i)(j) 表示在容量为 j的背包中, 用i种物品所能存放的最大价值;

分为三种情况:
(1):背包容量为0的情况;以及没有物品的情况

v(i)(0) = v(0)(i) = 0

(2)在添加第i个物品时,要是当前物品的重量已经大于背包的容量了;那么直接用上一步骤的物品的最大价值填充;在表中看得话就是同列上一个格子的数据;

当 w(i) > j 时;
当前的最大价值 v(i)(j) = v(i-1)(j)

(3)在添加第i个物品时,若当前物品的重量小于或者等于背包的容量,就得同上一步的进行比较了;

当 w(i) <= j 时;
当前的最大价值 v(i)(j) = Math.max( v(i-1)(j) ,  v(i-1)(j-w(i))   )
这里说明一下:
v(i-1)(j) 上一步的最优解;
-----------------------------------
v(i) : 当前的物品价值 ;   
-----------------------------------
v(i-1)(j-w(i)) : 分布说明: j:当前背包的最大容量 ; j-w(i):背包放入当前物品后的剩余容量;  (i-1)上一步的物品
那么v(i-1)(j-w(i)) :就是在背包放入当前物品后剩余空间的价值;
----------------------------------
当前的最大价值 v(i)(j) = Math.max( v(i-1)(j) ,  v(i-1)(j-w(i))   )
会对这两个价值进行比较;

public class KnapsackProblem {
    //测试
    public static void main(String[] args) {
        Knapsack();
    }

    public static void Knapsack() {
        //放置商品单个价值的数组;
        int[] shopVal = {6000, 8000, 3000};
        //放置单个商品重量的数组;
        int[] weight = {1, 4, 3};
        //背包的最大容量定义为4;
        int m = 4;
        //商品的数量;
        int n = shopVal.length;

        //商品与背包关系的数组;
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        //首先对第一行第一列进行初始化;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i][0] =0;
        }

        for (int i = 1; i < dp[0].length; i++) {
            dp[0][i]=0;
        }

        //进行放置操作; 注意会从第一行之后,第一列之后的区域开始;
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j j){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
                else {
                    //当前商品的重量不超过背包容量的最大值;需要和之前的进行比较;
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j] , shopVal[i-1]+dp[i-1][j-weight[i-1]]);
                }
            }
        }


        //打印信息;
        for (int[] ints : dp) {
            for (int j = 0; j < dp[0].length; j++) {
                System.out.print(ints[j] + "tt");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

测试输出;
这样只是将分析的表做出来了,并没有达到最终的要求,无法看出是把什么物品放入了背包

0		   0	       0		   0		   0		
0		6000		6000		6000		6000		
0		6000		6000		6000		8000		
0		6000		6000		6000		9000	

优化改进

public class KnapsackProblem {
    //测试
    public static void main(String[] args) {
        Knapsack2();
    }

    public static void Knapsack2() {
        //放置商品单个价值的数组;
        int[] shopVal = {6000, 8000, 3000};
        //放置单个商品重量的数组;
        int[] weight = {1, 4, 3};
        //背包的最大容量定义为4;
        int m = 4;
        //商品的数量;
        int n = shopVal.length;

        //商品与背包关系的数组;
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];

        //走过的路径进行标记;
        int[][] path = new int[n+1][m+1];
        //物品名称数组;
        String[] things = {"A电脑","B电子琴","C游戏机"};

        //首先对第一行第一列进行初始化;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i][0] = 0;
        }

        for (int i = 1; i < dp[0].length; i++) {
            dp[0][i] = 0;
        }

        //进行放置操作; 注意会从第一行之后,第一列之后的区域开始;
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp[0].length; j++) {
                //若当前商品的重量超过背包容量的最大值;继承上一步的最优值;
                if (weight[i - 1] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    //当前商品的重量不超过背包容量的最大值;需要和之前的进行比较;
                    if (dp[i - 1][j] > shopVal[i - 1] + dp[i - 1][j - weight[i - 1]]) {
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                    } else {
                        dp[i][j] = shopVal[i - 1] + dp[i - 1][j - weight[i - 1]];
                        //标记;
                        path[i][j]=1;
                    }
                }

            }
        }


        //打印信息;
        System.out.println("------分析背包问题-----");
        for (int[] ints : dp) {
            for (int j = 0; j < dp[0].length; j++) {
                System.out.print(ints[j] + "tt");
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("-----寻找存放的最优解-------");
        //只需找最后一次的;
        int i1 = dp.length-1;
        int i2 = dp[0].length-1;
        while (i1>0 && i2>0){
            if(path[i1][i2]==1){
                System.out.printf("第%d个物品"+things[i1-1]+"放入背包n",i1);
                i2 = weight[i1-1];
            }
            i1--;
        }
    }
}    

测试输出

------分析背包问题-----
0		   0		   0		   0		   0		
0		6000		6000		6000		6000		
0		6000		6000		6000		8000		
0		6000		6000		6000		9000		
-----寻找存放的最优解-------
第3个物品C游戏机放入背包
第1个物品A电脑放入背包