第k个数(二分)

第k个数

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题意

给你一个 n × m n times m n×m的方格矩阵，第 i i i行 j j j列对应的元素为 i × j i times j i×j。所有元素中第 k k k大的元素是什么？

题解

假设将所有的元素取出后，它一定是是个不一定连续但是非递减的数列，如果某个 x x x满足于在它之前有 ≥ k ge k ≥k个元素，那么 x x x后面的元素也一定满足，因此具有二段性，可以二分。

考虑二分值域，对应每个值看原矩阵中有多少个比他小的数，我们可以枚举每一行，对于第 i i i行来说所有的数应该是 i , 2 i , 3 i , . . . , m i i,2i,3i,...,mi i,2i,3i,...,mi,我们要找到最大 k k k使得 k i ≤ x kile x ki≤x，也就是每一行对于小于 x x x的贡献为 m i n ( m ( 一行最多有 m 个数 ) , x / i ) min(m(一行最多有m个数),x/i) min(m(一行最多有m个数),x/i)，复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。

Code

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#define x first
#define y second
#define debug(x) cout<<#x<<":"< PII;
typedef pair PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8, pi = acos(-1), inf = 1e20;
#define tpyeinput int
inline char nc() {static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
inline void read(tpyeinput &sum) {char ch=nc();sum=0;while(!(ch>='0'&&ch<='9')) ch=nc();while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+(ch-48),ch=nc();}
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {
    e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
LL n, m, k;
int a[N];
bool check(LL x) {
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )  res += min(m, x / i);
    return res >= k;
}   
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> m >> k;
    LL l = 1, r = n * m;
    while (l < r) {
        LL mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

第k个数(二分)

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