递归--整数划分（JAVA）

​将一个正整数n表示成一系列正整数的和，如：n= n1 + n2 +…+ nk （其中 n1 ≥ n2 ≥…≥ nk ≥ 1,k≥1）。正整数n的这种表示称为正整数n的一个划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n 的划分数，记作p(n)

例如，正整数n = 6时有如下11种不用的划分，所以p(6)=11.

6；

5+1；

4+2,4+1+1；

3+3,3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2,2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1。

在正整数n = 6的所有不同的划分中，将最大加数 n1 ≤ m 的划分个数记作 q(n,m)。例如 q(6,2) 如图：

输入n和m的值

输出q(n,m)的值

1. q(n,m) = q(n,1) = 1 (n≥1)（当最大加数n1≤ 1时，也就是 m = 1时，此时任何正整数n的划分数都为1，划分形式都为 n = 1+1+1+···+1(n个1相加)）
2. q(n,m) = q(1,m) = 1(m≥1)（当正整数n = 1时，此时m无论为何值，q(1,m)都等于q(1,1) = 1）
3. q(n,m) = q(n,n) (n（最大加数 n1 实际上不能大于 n，也就是m 不能大于 n）
4. q(n,m) = q(n,n) = 1+q(n,n-1) (n=m)（正整数 n 的划分由最大加数 n1 = n 的划分和最大加数 n1 ≤ n-1的划分组成）
5. q(n,m) = q(n,m-1)+q(n-m,m) (n>m>1)（正整数 n 的最大加数 n1 ≤ m 的划分由 n1 = m 的划分和 n1≤m-1 的划分组成）

综上所述，可得如下公式

代码实现：

import java.util.Scanner;

public class 分治_4整数划分问题
{

	public static int q(int n, int m)
	{
        // n < 1 或者 m < 1时不满足题目要求
		if (n < 1 || m < 1)
			return 0;
		else if (n == 1 && m == 1)
			return 1;
		else if (n < m)
			return q(n, n);
		else if (n == m)
			return 1 + q(n, n - 1);
		else
			return q(n, m - 1) + q(n - m, m);
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		// TODO 自动生成的方法存根
		Scanner input = new Scanner(System.in);
        // 输入 n , m
		int n = input.nextInt();
		int m = input.nextInt();
		input.close();
        // 调用方法,并将结果赋值给Q
		int Q = q(n, m);
        // 输出结果
		System.out.println("q(" + n + "," + m + ")" + "=" + Q);
	}

}