- 1 归并排序
- 定义
- 复杂度分析
- 递归实现
- 非递归实现
- 常见面试题1
- 常见面试题1
- 2 快速排序
- 定义
- 分区过程（Partition）
- 荷兰国旗问题（netherlandsFlag）
- 快速排序1.0
- 快速排序2.0（快排1.0+荷兰国旗技巧优化）
- 快速排序3.0（随机快排+荷兰国旗技巧优化）
归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
T(N) = 2T(N/2) + O(N^1)
根据master公式可知时间复杂度为O(NlogN)
merge过程需要辅助数组，所以额外空间复杂度为O(N)
归并排序的实质是把比较行为变成了有序信息并传递，比O(N^2)的排序快
// 递归方法实现
public static void mergeSort1(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
process(arr, 0, arr.length - 1);
}
// arr[L...R]范围上，变成有序的
// L...R N T(N) = 2*T(N/2) + O(N) ->
public static void process(int[] arr, int L, int R) {
if (L == R) { // base case
return;
}
int mid = L + ((R - L) >> 1);
process(arr, L, mid);
process(arr, mid + 1, R);
merge(arr, L, mid, R);
}
public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
int[] help = new int[R - L + 1];
int i = 0;
int p1 = L;
int p2 = M + 1;
while (p1 <= M && p2 <= R) {
help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
// 要么p1越界了，要么p2越界了
while (p1 <= M) {
help[i++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= R) {
help[i++] = arr[p2++];
}
for (i = 0; i < help.length; i++) {
arr[L + i] = help[i];
}
}
非递归实现
// 非递归方法实现
public static void mergeSort2(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
int N = arr.length;
int mergeSize = 1;// 当前有序的，左组长度
while (mergeSize < N) { // log N
int L = 0;
// 0....
while (L < N) {
// L...M 左组（mergeSize）
int M = L + mergeSize - 1;
if (M >= N) {
break;
}
// L...M M+1...R(mergeSize)
int R = Math.min(M + mergeSize, N - 1);
merge(arr, L, M, R);
L = R + 1;
}
if (mergeSize > N / 2) {
break;
}
mergeSize <<= 1;
}
}
public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
int[] help = new int[R - L + 1];
int i = 0;
int p1 = L;
int p2 = M + 1;
while (p1 <= M && p2 <= R) {
help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
// 要么p1越界了，要么p2越界了
while (p1 <= M) {
help[i++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= R) {
help[i++] = arr[p2++];
}
for (i = 0; i < help.length; i++) {
arr[L + i] = help[i];
}
}
常见面试题1
在一个数组中，一个数左边比它小的数的总和，叫数的小和，所有数的小和累加起来，叫数组小和。求数组小和。
例子： [1,3,4,2,5]
1左边比1小的数：没有
3左边比3小的数：1
4左边比4小的数：1、3
2左边比2小的数：1
5左边比5小的数：1、3、4、 2
所以数组的小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16
public static int smallSum(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return 0;
}
return process(arr, 0, arr.length - 1);
}
// arr[L..R]既要排好序，也要求小和返回
// 所有merge时，产生的小和，累加
// 左 排序 merge
// 右 排序 merge
// merge
public static int process(int[] arr, int l, int r) {
if (l == r) {
return 0;
}
// l < r
int mid = l + ((r - l) >> 1);
return
process(arr, l, mid)
+
process(arr, mid + 1, r)
+
merge(arr, l, mid, r);
}
public static int merge(int[] arr, int L, int m, int r) {
int[] help = new int[r - L + 1];
int i = 0;
int p1 = L;
int p2 = m + 1;
int res = 0;
while (p1 <= m && p2 <= r) {
res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
while (p1 <= m) {
help[i++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= r) {
help[i++] = arr[p2++];
}
for (i = 0; i < help.length; i++) {
arr[L + i] = help[i];
}
return res;
}
常见面试题1
求给定数组中的逆序对个数。
例子： [1,3,4,2,0,5]
其中所有的逆序对分别为：(1,0)、(3,2)、(3,0)、(4,2)、(4,0)
快速排序（Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
步骤为：
（1）从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
（2）重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
（3）递归地把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
给定一个数组arr，和一个整数num。请把小于等于num的数放在数组的左边，大于num的数放在数组的右边。
要求额外空间复杂度O(1)，时间复杂度O(N)
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
public static int partition(int[] arr, int L, int R) {
if (L > R) {
return -1;
}
if (L == R) {
return L;
}
int lessEqual = L - 1;
int index = L;
while (index < R) {
if (arr[index] <= arr[R]) {
swap(arr, index, ++lessEqual);
}
index++;
}
swap(arr, ++lessEqual, R);
return lessEqual;
}
荷兰国旗问题（netherlandsFlag）
给定一个数组arr，和一个整数num。请把小于num的数放在数组的左边，等于num的数放在中间，大于num的数放在数组的右边。
要求额外空间复杂度O(1)，时间复杂度O(N)
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
// arr[L...R] 玩荷兰国旗问题的划分，以arr[R]做划分值
// arr[R]
public static int[] netherlandsFlag(int[] arr, int L, int R) {
if (L > R) {
return new int[] { -1, -1 };
}
if (L == R) {
return new int[] { L, R };
}
int less = L - 1; // < 区 右边界
int more = R; // > 区 左边界
int index = L;
while (index < more) {
if (arr[index] == arr[R]) {
index++;
} else if (arr[index] < arr[R]) {
swap(arr, index++, ++less);
} else { // >
swap(arr, index, --more);
}
}
swap(arr, more, R);
return new int[] { less + 1, more };
}
快速排序1.0
在arr[L…R]范围上，进行快速排序的过程：
1）用arr[R]对该范围做partition，<= arr[R]的数在左部分并且保证arr[R]最后来到左部分的最后一个位置，记为M； >= arr[R]的数在右部分（arr[M+1…R]）
2）对arr[L…M-1]进行快速排序(递归)
3）对arr[M+1…R]进行快速排序(递归)
因为每一次partition都会搞定一个数的位置且不会再变动，所以排序能完成
public static void quickSort1(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
process1(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void process1(int[] arr, int L, int R) {
if (L >= R) {
return;
}
// L..R partition arr[R] [ <=arr[R] arr[R] >arr[R] ]
int M = partition(arr, L, R);
process1(arr, L, M - 1);
process1(arr, M + 1, R);
}
时间复杂度分析：
数组已经有序的时候就是复杂度最高的时候，时间复杂度O(N^2)
在arr[L…R]范围上，进行快速排序的过程：
1）用arr[R]对该范围做partition，< arr[R]的数在左部分，== arr[R]的数中间，>arr[R]的数在右部分。假设== arr[R]的数所在范围是[a,b]
2）对arr[L…a-1]进行快速排序(递归)
3）对arr[b+1…R]进行快速排序(递归)
因为每一次partition都会搞定一批数的位置且不会再变动，所以排序能完成
public static void quickSort2(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
process2(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void process2(int[] arr, int L, int R) {
if (L >= R) {
return;
}
int[] equalArea = netherlandsFlag(arr, L, R);
process2(arr, L, equalArea[0] - 1);
process2(arr, equalArea[1] + 1, R);
}
时间复杂度分析：
数组已经有序的时候就是复杂度最高的时候，时间复杂度O(N^2)
在arr[L…R]范围上，进行快速排序的过程：
1）在这个范围上，随机选一个数记为num，
1）用num对该范围做partition，< num的数在左部分，== num的数中间，>num的数在右部分。假设== num的数所在范围是[a,b]
2）对arr[L…a-1]进行快速排序(递归)
3）对arr[b+1…R]进行快速排序(递归)
因为每一次partition都会搞定一批数的位置且不会再变动，所以排序能完成
public static void quickSort3(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
process3(arr, 0, arr.length - 1);
}
public static void process3(int[] arr, int L, int R) {
if (L >= R) {
return;
}
swap(arr, L + (int) (Math.random() * (R - L + 1)), R);
int[] equalArea = netherlandsFlag(arr, L, R);
process3(arr, L, equalArea[0] - 1);
process3(arr, equalArea[1] + 1, R);
}
时间复杂度分析：
1）通过分析知道，划分值越靠近中间，性能越好；越靠近两边，性能越差
2）随机选一个数进行划分的目的就是让好情况和差情况都变成概率事件
3）把每一种情况都列出来，会有每种情况下的时间复杂度，但概率都是1/N
4）那么所有情况都考虑，时间复杂度就是这种概率模型下的长期期望！
时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度**O(logN)**都是这么来的。
