【深度学习】数学基础

常用于非结构性数据：文字、音频、图像

图像处理领域主要应用

• 图像分类(物体识别)：整幅图像的分类或识别
• 物体检测：检测图像中物体的位置进而识别物体
• 图像分割：对图像中的特定物体按边缘进行分割
• 图像回归：预测图像中物体组成部分的坐标

语音识别领域主要应用

• 语音识别：将语音识别为文字
• 声纹识别：识别是哪个人的声音
• 语音合成：根据文字合成特定人的语音

自然语言处理领域主要应用

• 语言模型：根据之前词预测下一个单词。
• 情感分析：分析文本体现的情感(正负向、正负中或多态度类型)。
• 神经机器翻译：基于统计语言模型的多语种互译。
• 神经自动摘要：根据文本自动生成摘要。
• 机器阅读理解：通过阅读文本回答问题、完成选择题或完型填空。
• 自然语言推理：根据一句话(前提)推理出另一句话(结论)。

综合应用

• 图像描述：根据图像给出图像的描述句子
• 可视问答：根据图像或视频回答问题
• 图像生成：根据文本描述生成图像
• 视频生成：根据故事自动生成视频

• 如果矩阵不为方阵或者是奇异矩阵，不存在逆矩阵，但是可以计算其广义逆矩阵或者伪逆矩阵；
• 对于矩阵 A A A，如果存在矩阵 B B B 使得 A B A = A ABA=A ABA=A，则称 B B B为$ A$的广义逆矩阵。

机器学习中常见的矩阵分解有特征分解和奇异值分解。

先提一下矩阵的特征值和特征向量的定义

• 若矩阵 A A A为方阵，则存在非零向量 x x x 和常数 λ lambda λ满足 A x = λ x Ax=lambda x Ax=λx，则称 λ lambda λ为矩阵 A A A 的一个特征值， x x x 为矩阵 A A A关于 λ lambda λ的特征向量。
• A n × n A_{n times n} An×n​的矩阵具有 n n n个特征值， λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n λ_1 ≤ λ_2 ≤ ⋯ ≤ λ_n λ1​≤λ2​≤⋯≤λn​ 其对应的n个特征向量为 풖 1 ， 풖 2 ， ⋯ ， 풖 푛 풖_1，풖_2， ⋯ ，풖_푛 u1​，u2​，⋯，un​
• 矩阵的迹(trace)和行列式(determinant)的值分别为

tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n λ i ∣   A ∣ = ∏ i = 1 n λ i operatorname{tr}(mathrm{A})=sum_{i=1}^{n} lambda_{i} quad|mathrm{~A}|=prod_{i=1}^{n} lambda_{i} tr(A)=i=1∑n​λi​∣ A∣=i=1∏n​λi​

矩阵特征分解： A n × n A_{n times n} An×n​的矩阵具有 n n n个不同的特征值，那么矩阵A可以分解为 A = U Σ U T A = USigma U^{T} A=UΣUT.

其中 Σ = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] U = [ u 1 , u 2 , ⋯   , u n ] ∥ u i ∥ 2 = 1 Sigma=left[begin{array}{cccc}lambda_{1} & 0 & cdots & 0 \ 0 & lambda_{2} & cdots & 0 \ 0 & 0 & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & lambda_{n}end{array}right] quad mathrm{U}=left[boldsymbol{u}_{1}, boldsymbol{u}_{2}, cdots, boldsymbol{u}_{n}right] quad left|boldsymbol{u}_{i}right|_{2}=1 Σ=⎣⎢⎢⎢⎡​λ1​000​0λ2​00​⋯⋯⋱⋯​00⋮λn​​⎦⎥⎥⎥⎤​U=[u1​,u2​,⋯,un​]∥ui​∥2​=1

奇异值分解：对于任意矩阵$ A_{m times n}$，存在正交矩阵 U m × m U_{m times m} Um×m​和 V n × n V_{n times n} Vn×n​，使其满足 A = U Σ V T U T U = V T V = I A = U Sigma V^{T} quad U^T U = V^T V = I A=UΣVTUTU=VTV=I，则称上式为矩阵 AA 的特征分解。

先验概率(Prior probability)：根据以往经验和分析得到的概率，在事件发生前已知，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率(Posterior probability)：指得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中 的“因”，后验概率是基于新的信息，修正后来的先验概率所获得 的更接近实际情况的概率估计。

举例说明：一口袋里有3只红球、2只白球，采用不放回方式摸取，求: (1) 第一次摸到红球(记作A)的概率; (2) 第二次摸到红球(记作B)的概率; (3) 已知第二次摸到了红球，求第一次摸到的是红球的概率?

解：(1) P ( A = 1 ) = 3 / 5 P(A=1) = 3/5 P(A=1)=3/5， 这就是先验概率; (2) P ( B = 1 ) = P ( A = 1 ) P ( B = 1 ∣ A = 1 ) + P ( A = 0 ) P ( B = 1 ∣ A = 0 ) = 3 5 2 4 + 2 5 3 4 = 3 5 P(B=1) = P(A=1) P(B=1|A=1)+ P(A=0)P(B=1|A=0)=frac{3}{5}frac{2}{4}+frac{2}{5}frac{3}{4} = frac{3}{5} P(B=1)=P(A=1)P(B=1∣A=1)+P(A=0)P(B=1∣A=0)=53​42​+52​43​=53​ (3) P ( A = 1 ∣ B = 1 ) = P ( A = 1 ) P ( B = 1 ∣ A = 1 ) P ( B = 1 ) = 1 2 P(A=1|B=1) = frac{P(A = 1)P(B = 1|A = 1)}{P(B = 1)} = frac{1}{2} P(A=1∣B=1)=P(B=1)P(A=1)P(B=1∣A=1)​=21​， 这就是后验概率。

信息熵，可以看作是样本集合纯度一种指标，也可以认为是样本集合包含的平均信息量。

假定当前样本集合X中第i类样本 푥 푖 푥_푖 xi​所占的比例为 P ( 푥 푖 ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) P(푥_푖)(i=1,2,...,n) P(xi​)(i=1,2,...,n)，则X的信息熵定义为：

H ( X ) = − ∑ i = 1 n P ( x i ) log ⁡ 2 P ( x i ) H(X) = -sum_{i = 1}^n P(x_i)log_2P(x_i) H(X)=−i=1∑n​P(xi​)log2​P(xi​)

H(X)的值越小，则X的纯度越高，蕴含的不确定性越少

两个随机变量X和Y的联合分布可以形成联合熵，度量二维随机变量XY的不确定性：

H ( X , Y ) = − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n P ( x i , y j ) log ⁡ 2 P ( x i , y j ) H(X, Y) = -sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^n P(x_i,y_j)log_2 P(x_i,y_j) H(X,Y)=−i=1∑n​j=1∑n​P(xi​,yj​)log2​P(xi​,yj​)

在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生带来的熵，定义为Y的条件熵，用H(Y|X)表示，定义为：

H ( Y ∣ X ) = ∑ i = 1 n P ( x i ) H ( Y ∣ X = x i ) = − ∑ i = 1 n P ( x i ) ∑ j = 1 n P ( y j ∣ x i ) log ⁡ 2 P ( y j ∣ x i ) = − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n P ( x i , y j ) log ⁡ 2 P ( y j ∣ x i ) H(Y|X) = sum_{i = 1}^n P(x_i)H(Y|X = x_i) = -sum_{i = 1}^n P(x_i) sum_{j = 1}^n P(y_j|x_i)log_2 P(y_j|x_i) = -sum_{i = 1}^n sum_{j = 1}^n P(x_i,y_j) log_2 P(y_j|x_i) H(Y∣X)=i=1∑n​P(xi​)H(Y∣X=xi​)=−i=1∑n​P(xi​)j=1∑n​P(yj​∣xi​)log2​P(yj​∣xi​)=−i=1∑n​j=1∑n​P(xi​,yj​)log2​P(yj​∣xi​)

条件熵用来衡量在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定。 熵、联合熵和条件熵之间的关系：

H ( Y ∣ X ) = H ( X , Y ) − H ( X ) H(Y|X) = H(X,Y)-H(X) H(Y∣X)=H(X,Y)−H(X).

I ( X ; Y ) = H ( X ) + H ( Y ) − H ( X , Y ) I(X;Y) = H(X)+H(Y)-H(X,Y) I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)

相对熵又称KL散度，是描述两个概率分布P和Q差异的一种方法，记做D(P||Q)。在信息论中，D(P||Q)表示用概率分布Q来拟合真实分布P时，产生的信息表达的损耗，其中P表示信源的真实分布，Q表示P的近似分布。

• 离散形式： D ( P ∣ ∣ Q ) = ∑ P ( x ) log ⁡ P ( x ) Q ( x ) D(P||Q) = sum P(x)log frac{P(x)}{Q(x)} D(P∣∣Q)=∑P(x)logQ(x)P(x)​
• 连续形式： D ( P ∣ ∣ Q ) = ∫ P ( x ) log ⁡ P ( x ) Q ( x ) D(P||Q) = int P(x)log frac{P(x)}{Q(x)} D(P∣∣Q)=∫P(x)logQ(x)P(x)​

一般用来求目标与预测值之间的差距，深度学习中经常用到的一类损失函数度量，比如在对抗生成网络( GAN )中

D ( P ∣ ∣ Q ) = ∑ P ( x ) log ⁡ P ( x ) Q ( x ) = ∑ P ( x ) log ⁡ P ( x ) − ∑ P ( x ) log ⁡ Q ( x ) = − H ( P ( x ) ) − ∑ P ( x ) log ⁡ Q ( x ) D(P||Q) = sum P(x)log frac{P(x)}{Q(x)} = sum P(x)log P(x) - sum P(x)log Q(x) =-H(P(x)) -sum P(x)log Q(x) D(P∣∣Q)=∑P(x)logQ(x)P(x)​=∑P(x)logP(x)−∑P(x)logQ(x)=−H(P(x))−∑P(x)logQ(x)

交叉熵： H ( P , Q ) = − ∑ P ( x ) log ⁡ Q ( x ) H(P,Q) = -sum P(x)log Q(x) H(P,Q)=−∑P(x)logQ(x)

参考：

• DataWhale 水很深的深度学习-数学基础
• CSE 312: Foundations of Computing II, Summer 2020 Handout