- 前言
- 一、一元函数的极值
- 1. 极值的定义
- 2. 极值判断流程
- 3. 极值的必要条件
- 4. 极值的充分条件
- 1). 第一充分条件
- 2). 第二充分条件
- 3). 第三充分条件
- 二、一元函数的最值
- 1. 最值的定义
- 2. 函数的最值
- 三、二元函数的极值
- 1. 极值的定义
- 2. 极值判断流程
- 3. 二元函数的泰勒公式
- 4. 无条件极值
- (1) 取极值的必要条件
- (2) 取极值的充分条件
- 5. 有条件极值
- 四、二元函数的最值
- 总结
- 附录
- 附1：
- 附2：
前言
我们对新事物的认识过程是通过对其事物的特性进行研究的过程。如对鸟的认识是对其“飞”的特性进行研究的过程，对鱼的认识是对其“游”的特性进行研究的过程。而极值、最值是函数的重要的特性。极值研究的是函数的 局部 性态，最值研究的是函数的 整体 性态。函数的极值和最值使得函数更加具体。
一、一元函数的极值 1. 极值的定义
定义1：设 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 的某个 邻域 有定义，如果存在一个 邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)，当 x ∈ U ( x 0 ) x in U(x_0) x∈U(x0) 时有 f ( x ) ⩾ ( ⩽ ) f ( x 0 ) f(x) geqslant (leqslant) f(x_0) f(x)⩾(⩽)f(x0)，则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 为 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极小（极大）值，点 x = x 0 x=x_0 x=x0 称为 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极小（极大）值点。
定义2：设 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 的某个 邻域 有定义，如果对于该 去心邻域 内任何 x x x，恒有 f ( x ) > ( < ) f ( x 0 ) f(x)>(<)f(x_0) f(x)>(<)f(x0)，则称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 为 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极小（极大）值，点 x = x 0 x=x_0 x=x0 称为 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极小（极大）值点。
极大（小）值统称为极值，极大（小）值点统称为极值点。
由极值的定义可以得到几条重要的信息如下：
信息1：函数在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的极值只能在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上取得；端点
x
=
a
x=a
x=a，
x
=
b
x=b
x=b 处不可能取得极值。
证明：因为
x
=
a
x=a
x=a 的左邻域已经超出了
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的定义域，
x
=
b
x=b
x=b 的右邻域已经超出了
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的定义域。而极值存在的前提是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某个 邻域 有定义。邻域=左邻域+右邻域，左邻域和右邻域必须都存在。
信息2：若函数在闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最大值（或最小值）在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上取得，那么函数在该点处必取得极大值（或极小值）。
证明：设
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最大值，则对一切
x
∈
(
a
,
b
)
x in (a,b)
x∈(a,b)，有
f
(
x
)
⩽
f
(
x
0
)
f(x) leqslant f(x_0)
f(x)⩽f(x0)，又因
x
0
x_0
x0 为区间内部点而非端点，故存在一个邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)，当
x
∈
U
(
x
0
)
x in U(x_0)
x∈U(x0) 时，
f
(
x
)
⩽
f
(
x
0
)
f(x) leqslant f(x_0)
f(x)⩽f(x0)，依据极大值的定义，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个极大值。
信息3：如果连续函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 区间内部 只有一个 可疑极值点，并且是极大（极小）值点，则它必是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的最大（最小）值点。此时的“区间”可以是闭的，也可以是开的、半开半闭或无穷区间。 对
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的某个区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内的每个点
x
=
x
0
x=x_0
x=x0， 设
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 在点
x
0
x_0
x0 处可导，且
x
0
x_0
x0 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的极值点，则
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0. 通常把导数为零的点称为函数的驻点。由极值的必要性可知：
(
(
(
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 在点
x
0
x_0
x0 处可导
)
)
)
+
+
+
(
(
(
x
0
x_0
x0 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的极值点
)
)
)
⟹
Longrightarrow
⟹
x
0
x_0
x0 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的驻点。 设
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0) = 0
f′(x0)=0（或
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续），且在
x
0
x_0
x0 的某去心邻域
U
˚
(
x
0
,
δ
)
mathring{U}(x_0, delta)
U˚(x0,δ) 内可导。 若
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=0
f′(x0)=0，
f
′
′
(
x
0
)
≠
0
f''(x_0) neq 0
f′′(x0)=0，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极值，其中当
f
′
′
(
x
0
)
>
0
f''(x_0)>0
f′′(x0)>0 时取得极小值，当
f
′
′
(
x
0
)
<
0
f''(x_0)<0
f′′(x0)<0 时取得极大值。 若
f
′
(
x
0
)
=
f
′
′
(
x
0
)
=
⋯
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=f''(x_0)=dotsb=f^{(n-1)}(x_0)=0
f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0，
f
(
n
)
(
x
0
)
≠
0
f^{(n)}(x_0) neq 0
f(n)(x0)=0，则当
n
n
n 为偶数时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处有极值，其中
f
(
n
)
(
x
0
)
>
0
f^{(n)}(x_0) > 0
f(n)(x0)>0 时取得极小值，
f
(
n
)
(
x
0
)
<
0
f^{(n)}(x_0) < 0
f(n)(x0)<0 时取得极大值。当
n
n
n 为奇数时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处无极值（注： 证明见附1）。 设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在某区间
I
I
I 上有定义，如果存在
x
0
∈
I
x_0 in I
x0∈I，使对一切
x
∈
I
x in I
x∈I 有
f
(
x
)
⩾
(
⩽
)
f
(
x
0
)
f(x) geqslant (leqslant) f(x_0)
f(x)⩾(⩽)f(x0)，称
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
I
I
I 上的最小（最大）值。 连续函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最值的求法。 定义1：若存在
M
0
(
x
0
,
y
0
)
M_0(x_0, y_0)
M0(x0,y0) 点的某邻域
U
δ
(
M
0
)
U_delta(M_0)
Uδ(M0)，使得
f
(
x
,
y
)
⩽
(
⩾
)
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x,y) leqslant (geqslant) f(x_0, y_0)
f(x,y)⩽(⩾)f(x0,y0)，则称
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 在点
M
0
(
x
0
,
y
0
)
M_0(x_0, y_0)
M0(x0,y0) 取得极大值（极小值）
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0,y_0)
f(x0,y0). 极大（小）值统称为极值，极大（小）值点统称为极值点。 对
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的某个邻域内的每个点
P
(
x
0
,
y
0
)
P(x_0, y_0)
P(x0,y0)， 设
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 二阶偏导数连续，记
X
0
(
x
0
,
y
0
)
X_0(x_0, y_0)
X0(x0,y0)，
Δ
X
=
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
(
x
−
x
0
,
y
−
y
0
)
Delta X=(Delta x, Delta y) = (x-x_0, y-y_0)
ΔX=(Δx,Δy)=(x−x0,y−y0)，则
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
+
(
f
x
′
f
y
′
)
X
0
(
Δ
x
Δ
y
)
+
1
2
!
(
Δ
x
Δ
y
)
[
f
x
x
′
′
f
x
y
′
′
f
y
x
′
′
f
y
y
′
′
]
X
0
(
Δ
x
Δ
y
)
+
R
2
f(x,y)=f(x_0,y_0)+begin{pmatrix}f'_x & f'_yend{pmatrix}_{X_0}begin{pmatrix}Delta x \ Delta y end{pmatrix} + frac{1}{2!} begin{pmatrix}Delta x & Delta y end{pmatrix} begin{bmatrix}f''_{xx} & f''_{xy} \ f''_{yx} & f''_{yy} end{bmatrix}_{X_0} begin{pmatrix}Delta x \ Delta y end{pmatrix} + R_2
f(x,y)=f(x0,y0)+(fx′fy′)X0(ΔxΔy)+2!1(ΔxΔy)[fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′]X0(ΔxΔy)+R2
(
f
x
′
f
y
′
)
X
0
=
0
begin{pmatrix}f'_x & f'_yend{pmatrix}_{X_0} = 0
(fx′fy′)X0=0，
X
0
X_0
X0 为驻点，即
{
f
x
′
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f
y
′
(
x
0
,
y
0
)
=
0
begin{cases} f'_x(x_0, y_0) = 0 &text{} \ f'_y(x_0, y_0) = 0 &text{} end{cases}
{fx′(x0,y0)=0fy′(x0,y0)=0 已有
(
f
x
′
f
y
′
)
X
0
=
0
begin{pmatrix}f'_x & f'_yend{pmatrix}_{X_0} = 0
(fx′fy′)X0=0，则有
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
=
1
2
!
(
Δ
x
Δ
y
)
[
f
x
x
′
′
f
x
y
′
′
f
y
x
′
′
f
y
y
′
′
]
X
0
(
Δ
x
Δ
y
)
+
R
2
f(x,y)-f(x_0,y_0) = frac{1}{2!} begin{pmatrix}Delta x & Delta y end{pmatrix} begin{bmatrix}f''_{xx} & f''_{xy} \ f''_{yx} & f''_{yy} end{bmatrix}_{X_0} begin{pmatrix}Delta x \ Delta y end{pmatrix} + R_2
f(x,y)−f(x0,y0)=2!1(ΔxΔy)[fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′]X0(ΔxΔy)+R2 ②（负定）当
f
x
x
′
′
∣
x
0
<
0
f''_{xx}|_{x_0} <0
fxx′′∣x0<0 且
∣
f
x
x
′
′
f
x
y
′
′
f
y
x
′
′
f
y
y
′
′
∣
x
0
>
0
begin{vmatrix}f''_{xx}&f''_{xy}\f''_{yx}&f''_{yy}end{vmatrix}_{x_0} >0
∣∣∣∣fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′∣∣∣∣x0>0，即
{
f
x
x
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
A
<
0
f
x
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
f
y
x
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
B
f
y
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
C
begin{cases} f''_{xx}(x_0, y_0) overset{记}{=} A <0 &text{} \ f''_{xy}(x_0, y_0) = f''_{yx}(x_0, y_0) overset{记}{=} B &text{} \ f''_{yy}(x_0, y_0) overset{记}{=} C end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=记A<0fxy′′(x0,y0)=fyx′′(x0,y0)=记Bfyy′′(x0,y0)=记C 且
Δ
=
记
A
C
−
B
2
>
0
Delta overset{记}{=} AC - B^2 > 0
Δ=记AC−B2>0 时，
f
(
x
,
y
)
<
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x,y) < f(x_0,y_0)
f(x,y) ③ 当
∣
f
x
x
′
′
f
x
y
′
′
f
y
x
′
′
f
y
y
′
′
∣
x
0
<
0
begin{vmatrix}f''_{xx}&f''_{xy}\f''_{yx}&f''_{yy}end{vmatrix}_{x_0} <0
∣∣∣∣fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′∣∣∣∣x0<0，即
Δ
<
0
Delta < 0
Δ<0 时，二次型变号，非极值点。 对于求
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y) 在条件
φ
(
x
,
y
)
=
0
varphi(x,y)=0
φ(x,y)=0 下的条件极值的一般方法为： 对于连续函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 在有界闭区域
D
D
D 上的最大最小值方法为： 极值描述的是函数局部中最突显性态，最值描述的是函数整体中最突显性态。研究极值和最值有助于我们更好的理解函数。如果将某批数据进行处理，然后整理生成某个函数，生成这个函数的过程就等同于将大量信息压缩的过程。而研究函数极值和最值的过程等同于将重点信息还原的过程。掌握了函数的极值和最值就掌握了解密信息的密钥。 若
f
′
(
x
0
)
=
f
′
′
(
x
0
)
=
⋯
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=f''(x_0)=dotsb=f^{(n-1)}(x_0)=0
f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0，
f
(
n
)
(
x
0
)
≠
0
f^{(n)}(x_0) neq 0
f(n)(x0)=0，可知
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处有
n
n
n 阶导，根据泰勒定理可得
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 展开的具有拉格朗日余项的泰勒公式为：
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
(
n
−
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
−
1
+
R
n
−
1
(
x
)
f(x)=f(x_0)+frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+dotsb+frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}+R_{n-1}(x)
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+(n−1)!f(n−1)(x0)(x−x0)n−1+Rn−1(x) 其中
R
n
−
1
(
x
)
=
f
n
(
ξ
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
R_{n-1}(x)=frac{f^{n}(xi)}{n!}(x-x_0)^n
Rn−1(x)=n!fn(ξ)(x−x0)n，
ξ
xi
ξ 在
x
x
x 与
x
0
x_0
x0 之间。
f
f
f 正定判断的充要条件：
证明：反证法。设
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的唯一极值点且为极大值点。设
x
=
x
m
a
x
x=x_{max}
x=xmax 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最大值点。当
x
m
a
x
≠
x
0
x_{max} neq x_0
xmax=x0 时，
x
m
a
x
x_{max}
xmax 的取值情况分为两种：
①
x
m
a
x
∈
(
a
,
b
)
x_{max} in (a,b)
xmax∈(a,b). 由上文中的 信息2 可知
x
m
a
x
x_{max}
xmax 必为极大值点，与
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上仅有唯一极值点矛盾。
②
x
m
a
x
=
a
x_{max} = a
xmax=a，或者
x
m
a
x
=
b
x_{max} = b
xmax=b. 现证当
x
m
a
x
=
b
x_{max} = b
xmax=b 时的情况。因为
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 为极大值点，存在
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
1
)
x in (x_0,x_0+delta_1)
x∈(x0,x0+δ1)，
f
(
x
)
<
f
(
x
0
)
f(x)
对可导函数而言，极值只可能在驻点上取得，极值点必为驻点， 但驻点并不一定为是极值点。
(1). 若
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
x in (x_0 - delta, x_0)
x∈(x0−δ,x0) 时，
f
′
(
x
)
>
0
f'(x)>0
f′(x)>0，而
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
x in (x_0,x_0+delta)
x∈(x0,x0+δ) 时，
f
′
(
x
)
<
0
f'(x)<0
f′(x)<0，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极大值。
(2). 若
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
x in (x_0 - delta, x_0)
x∈(x0−δ,x0) 时，
f
′
(
x
)
<
0
f'(x)<0
f′(x)<0，而
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
x in (x_0,x_0+delta)
x∈(x0,x0+δ) 时，
f
′
(
x
)
>
0
f'(x)>0
f′(x)>0，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极小值。
(3). 若
x
∈
U
˚
(
x
0
,
δ
)
x in mathring{U}(x_0, delta)
x∈U˚(x0,δ) 时，
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x) 的符号保持不变，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处没有极值。
第一步：求出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在开区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内的驻点和不可导点
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_1,x_2,dotsb,x_n
x1,x2,⋯,xn，此过程为极值点的算法;
第二步：求出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x_1,x_2,dotsb,x_n
x1,x2,⋯,xn 和区间端点
a
,
b
a,b
a,b 处的函数值
f
(
x
1
)
,
f
(
x
2
)
,
⋯
,
f
(
x
n
)
,
f
(
a
)
,
f
(
b
)
f(x_1),f(x_2),dotsb,f(x_n),f(a),f(b)
f(x1),f(x2),⋯,f(xn),f(a),f(b);
第三步：比较以上各点函数值，其中最大的即为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最大值，最小的即为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的最小值。
定义2：设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y) 在点
P
(
x
0
,
y
0
)
P(x_0, y_0)
P(x0,y0) 的某邻域内有定义，若对该去心邻域内任意的点
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P(x,y) 均有
f
(
x
,
y
)
<
(
>
)
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x,y)<(>)f(x_0,y_0)
f(x,y)<(>)f(x0,y0)，则称
(
x
0
,
y
0
)
(x_0, y_0)
(x0,y0) 为
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 的极大值点（或极小值点）。
①（正定）当
f
x
x
′
′
∣
x
0
>
0
f''_{xx}|_{x_0} >0
fxx′′∣x0>0 且
∣
f
x
x
′
′
f
x
y
′
′
f
y
x
′
′
f
y
y
′
′
∣
x
0
>
0
begin{vmatrix}f''_{xx}&f''_{xy}\f''_{yx}&f''_{yy}end{vmatrix}_{x_0} >0
∣∣∣∣fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′∣∣∣∣x0>0，即
{
f
x
x
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
A
>
0
f
x
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
f
y
x
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
B
f
y
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
=
记
C
begin{cases} f''_{xx}(x_0, y_0) overset{记}{=} A >0 &text{} \ f''_{xy}(x_0, y_0) = f''_{yx}(x_0, y_0) overset{记}{=} B &text{} \ f''_{yy}(x_0, y_0) overset{记}{=} C end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=记A>0fxy′′(x0,y0)=fyx′′(x0,y0)=记Bfyy′′(x0,y0)=记C 且
Δ
=
记
A
C
−
B
2
>
0
Delta overset{记}{=} AC - B^2 > 0
Δ=记AC−B2>0 时，
f
(
x
,
y
)
>
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x,y) > f(x_0,y_0)
f(x,y)>f(x0,y0)，
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0,y_0)
f(x0,y0) 为极小值。
① 构造拉格朗日函数
F
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
φ
(
x
,
y
)
F(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)
F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
② 将有条件极值转换为对
F
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
φ
(
x
,
y
)
F(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)
F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y) 的无条件极值的求法。
① 求
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 在
D
D
D 内部可能的极值点；
② 求
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 在
D
D
D 的边界上的最大最小值；
③ 比较①、②得最值。
总结
因为
f
′
(
x
0
)
=
f
′
′
(
x
0
)
=
⋯
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
f'(x_0)=f''(x_0)=dotsb=f^{(n-1)}(x_0)=0
f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0，
f
(
n
)
(
x
0
)
≠
0
f^{(n)}(x_0) neq 0
f(n)(x0)=0，所以
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
n
(
ξ
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
f(x)=f(x_0)+frac{f^{n}(xi)}{n!}(x-x_0)^n
f(x)=f(x0)+n!fn(ξ)(x−x0)n，从而可得
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
f
n
(
ξ
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
=
R
n
−
1
(
x
)
f(x)-f(x_0)=frac{f^{n}(xi)}{n!}(x-x_0)^n=R_{n-1}(x)
f(x)−f(x0)=n!fn(ξ)(x−x0)n=Rn−1(x)，当
n
n
n 为偶数时，
(
x
−
x
0
)
n
>
=
0
(x-x_0)^n>=0
(x−x0)n>=0，
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
f(x)-f(x_0)
f(x)−f(x0) 的正负由
f
n
(
ξ
)
f^{n}(xi)
fn(ξ) 决定，因为
x
∈
U
˚
(
x
0
,
δ
)
x in mathring{U}(x_0, delta)
x∈U˚(x0,δ) 且
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续，所以当
x
x
x 趋于
x
0
x_0
x0 时，
f
n
(
ξ
)
f^{n}(xi)
fn(ξ) 的正负和
f
n
(
x
0
)
f^{n}(x_0)
fn(x0) 相同。因此，当
f
n
(
x
0
)
>
0
f^{n}(x_0)>0
fn(x0)>0 时，
f
n
(
ξ
)
>
0
f^{n}(xi)>0
fn(ξ)>0，
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
>
0
f(x)-f(x_0) > 0
f(x)−f(x0)>0，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 为极小值；当
f
n
(
x
0
)
<
0
f^{n}(x_0)<0
fn(x0)<0 时，
f
n
(
ξ
)
<
0
f^{n}(xi)<0
fn(ξ)<0，
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
<
0
f(x)-f(x_0) < 0
f(x)−f(x0)<0，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 为极大值。而若
n
n
n 为奇数时，
R
n
−
1
(
x
)
R_{n-1}(x)
Rn−1(x) 的符号不确定，因此无法判断
f
(
x
)
f(x)
f(x) 与
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 的大小。
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
T
A
x
f(x_1,x_2,mathellipsis,x_n) =mathbf{x}^Tmathbf{A}mathbf{x}
f(x1,x2,…,xn)=xTAx 正定
⇔
xLeftrightarrow{}
A
mathbf{A}
A 的全部顺序主子式大于零。
f
f
f 负定判断的充要条件：
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
T
A
x
f(x_1,x_2,mathellipsis,x_n) =mathbf{x}^Tmathbf{A}mathbf{x}
f(x1,x2,…,xn)=xTAx 负定
⇔
xLeftrightarrow{}
A
mathbf{A}
A 的顺序主子式负正依次交错，以负开始。
