二叉树的性质

• 1、二叉树的性质
• • 1.1 在二叉树的第i层至多有2^i-1^个结点
  • 1.2 深度为k的二叉树至多有2^k^-1个结点（k≥1）
  • 1.3 叶子数 = 度为2的结点 + 1
• 2、满二叉树与完全二叉树
• • 2.1 满二叉树
  • 2.2 完全二叉树
• 3、完全二叉树的性质
• • 3.1 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log~2~n] + 1
  • 3.2 双亲结点编号与孩子结点编号之间的关系
• 性质总结

对任何一棵二叉树T,如果其叶子数为n₀,度为2的结点数为n₂,则n₀ = n₂+1

从下往上分析: 总边数 = 结点个数 - 1<因为根结点是没有双亲的,所以减去1>
从上往下分析: 总边数 = 度为2的结点*2 + 度为1的结点 * 1 <度为2就会往下延2条边，度为1会往下延1条边>

B = n-1 = B = n_2*2+n₁*1
算出总结点数n
n = n₂*2+n₁*1+1
又因为:
n = n₂+n₁+n₀ <度为2的结点+度为1的结点+度为0的结点 = 等于结点数>
将这两个约分
n₂+n₁+n₀ = n₂*2+n₁*1+1
n₀ = n₂+1

 

都是完全二叉树




 

如果对一棵树n个结点的完全二叉树(深度为log₂n+1)按层序编号(从第1层到log₂n+1层,每层从左到右)，则对任一结点(1≤i≤n),有
(1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲；如果i>1,则其双亲是结点i/2
(2)如果2i>n,则结点i为叶子结点,无左孩子；否则，其左孩子是结点2i
(3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i+1



 

所有二叉树都有的性质

1. 在二叉树的第i层至多有2^i-1个结点
2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）
3. 对任何一棵二叉树T,如果其叶子数为n₀,度为2的结点数为n₂,则n₀ = n₂+1

完全二叉树

1. 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n] + 1
2. 如果对一棵树n个结点的完全二叉树(深度为log₂n+1)按层序编号(从第1层到log₂n+1层,每层从左到右)，则对任一结点(1≤i≤n),有
   (1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲；如果i>1,则其双亲是结点i/2
   (2)如果2i>n,则结点i为叶子结点,无左孩子；否则，其左孩子是结点2i
   (3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i+1