算法 - 快速乘/幂算法

• 快速乘/幂算法
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在对两个数进行乘法运算的时候，我们一般是直接使用库函数或者是用运算符号“”直接进行计算。但是乘法在计算机中处理的时间并不是这么快的，也要拆分为加法来做的。所以快速乘法会更快地计算ab的结果，如果数字过大就可能会出现溢出的问题，但快速乘法却不会。快速幂也是同样的道理。

例如：5 * 53 = 5 * 110101（二进制表示53）
= 5 * （100000 * 1 + 10000 * 1 + 1000 * 0 + 100 * 1 + 10 * 0 + 1 * 1）
= 5 * （2^5 * 1 + 2^4 * 1 + 2^3 * 0 + 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1）
= 5 * 2^5 * 1 + 5 * 2^4 * 1 + 5 * 2^3 * 0 + 5 * 2^2 * 1 + 5 * 2^1 * 0 + 5 * 2^0 * 1
从结果可以看出，当a0 = 5的时候，a1 = 5 * 2 * (1或者0，这个取决于第二个因数中的二进制位取1还是0)

其实对于快速幂其实是一样的道理，只不过每一位a更新的时候不是2，而是a=aa。
例如3^5的流程：
3^5
= 3^(1001) （二进制）
= 3^(10001+1000+100+11)

    public long q_mul(long a,long b) {
          long result = 0;
          while (b != 0) {
             if ((b & 1) != 0) {
                 result = result + b % 2 * a; // b%2获取到第二个因数二进制位数的最后一位
             }
             a = a * 2; // 后一个计算结果是前一个的2倍，例如：a0 * 2 = a1
             b = b / 2; // 第二个因数向右移动一位
         }
       return result;
    }

     public long q_pow(long a,long b) {
          long result = 0;
          while (b != 0) {
             if ((b & 1) != 0) {
                result = (result + a) % mod;
            }
             a = a * a; 
             b = b / 2; 
         }
       return result;
    }

快速计算a*b % mod的结果（主要目的是换乘法为加法，防止爆数据），或者快速计算a^b % mod 的结果，时间复杂度大大降低。

 public long q_mul(long a,long b) {
       long result = 0;
       while (b != 0) {
         if ((b & 1) != 0) {
           result = result + b % 2 * a;
         }
         a = a * 2;
         b = b / 2;
       }
       return result;
    }

    public long q_mul_mod(long a,long b,long mod) {
        long result = 0;

        while (b != 0) {
            if ((b & 1) != 0) {
                result = (result + (b % 2 * a) % mod) % mod;
            }
            a = (a * 2) % mod;
            b = b / 2;
        }

        return result;

    }

    public long q_pow_mul_mod(long a,long b,long mod) {
        long result = 0;

        while (b != 0) {

            if ((b & 1) != 0) {
                result = (result + a) % mod;
            }

            a = (a + a) % mod;
            b = b / 2;
        }

        return result;

    }

    public long q_pow_mod(long a,long b,long mod) {
        long result = 1;

        while (b != 0) {

            if ((b & 1) != 0) {
                result = q_pow_mul_mod(result,a,mod);
            }

            a = q_pow_mul_mod(a,a,mod);
            b = b / 2;
        }

        return result;

    }