我建议您看一下“
外部代数”。它概括了叉积和行列式的概念。描述飞机上各个区域的“动机示例”部分完全可以回答您的问题。
它适用于任何维度。3D是一种特殊情况，其中两个向量的叉积的结果也具有3个分量。但是，在2D中只有一个结果分量，而在4D中只有6个分量。在4D中，您可以使用3个向量应用一种叉积，这也为您提供4个分量。
重要的是要注意，尽管3D叉积的结果包含3个成分，但单位和含义是不同的。例如，与“标准”向量相反，x分量具有面积单位，并表示YZ平面中的面积，在“标准”向量中，x分量具有长度单位，而差是坐标。使用外部代数，由于符号也不同（
dxvs
dy^dz），因此这些区别变得更加清晰。
注意：您引用的答案有误。代替
(u1, u2) x (v1, v2) := (u1 - v2)*(u2 - v1)，应该是
(u1, u2) x (v1,v2) := u1*v2 - u2*v1
