[AcWing]AcWing 797. 差分（算法基础课）（C++实现）一维差分模板题

• 1. 题目
• 2. 读题（需要重点注意的东西）
• 3. 解法
• 4. 可能有帮助的前置习题
• 5. 所用到的数据结构与算法思想
• 6. 总结

思路：
-------------------------------------------------解题思路-----------------------------------------------------------
一维差分，多用于在某一个区间里做加法，能将O(n)的时间复杂度转换为O(1)；
其主要是思想是：
a[]是b[]的前缀和，即 a[i] = a[i-1] + b[i];

b[]是a[]的差分，即b[i] = a[i] - a[i-1];

如
b[1] = a[1
b[2] = a[2] - a[1]
b[3] = a[3] - a[2]

题目要求在a[l]和a[r]中间所有数都加上一个c，因为a[i] = b[i] + b[i-1] + … + b[2] + b[1]; 所以a[i]后面的数都会加上b[i]，b[i]加c了，a[i]后的数也会相应全部加c，如insert函数。

void insert(int i ,int r,int c){
    //a[i] 后面的元素全部加上c  
    b[i]+=c; //因为a[i] = b[i] + b[i-1] + ... + b[2] + b[1];所以a[i]后面的数都会加上b[i]，b[i]加c了，a[i]后的数也会相应全部加c
    //同理a[r+1] 后面的元素都减去一个c
    b[r+1]-=c; 
}

为什么b[r+1] -= c?
这是因为我们只需要l到r之间的数加上c，但是经过b[l] += c后，a[r]后的数也加上了c，因此需要使用b[r+1]-=c; 再减去一个c。

-------------------------------------------------代码实现思路-----------------------------------------------------------

1. 读入a[i]
2. 由a[i]构建b[i]
3. while循环m次，在给b[l]加c,b[r+1]减c
4. 由b[i]再构建前缀和赋值给b[i]，此时b在实现上就是实现的前缀和a
5. 输出b

---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------

#include
using namespace std;
int n,m;
const N = 100010;
int a[N],b[N]; // a为b的前缀和 即a[i] = b[i] + b[i-1] + ... + b[2] + b[1];

void insert(int i ,int r,int c){
    //a[i] 后面的元素全部加上c  
    b[i]+=c; //因为a[i] = b[i] + b[i-1] + ... + b[2] + b[1];所以a[i]后面的数都会加上b[i]，b[i]加c了，a[i]后的数也会相应全部加c
    //同理a[r+1] 后面的元素都减去一个c
    b[r+1]-=c; 
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    // 首先将a[i]和b[i]全部视为0，然后在b[i]处插入a[i]构造出差分数组b[i]
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) insert(i, i, a[i]);
    while(m --){
        int l , r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l,r,c);
    }
    // 将b[i]数组变成自己的前缀和，因为我们是要输出a[i]加上区间和的值，此处b[i]相当于变成了a[i],最后再进行输出
    for(int i = 1;i <= n;i++) b[i] += b[i-1];
    for(int i = 1;i <= n;i++) printf("%d",b[i]);
    return 0;
}

一维差分模板，主要应用于在 某一个区间内加上一个固定的值，该方法能将O(n)的时间复杂度降为O(1)，推荐完全背下来。

在代码中需要注意两个问题：
1. b[i]是怎么构建出来的？
首先将a[i]和b[i]全部视为0，然后相当于在b[i]处插入a[i]构造出差分数组b[i]，这样可以完美的复用insert函数。

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) insert(i, i, a[i]);

前三次循环：

2. b[i]为什么要求自己的前缀和？
将b[i]数组变成自己的前缀和，因为我们是要输出a[i]加上区间和的值，此处b[i]相当于变成了a[i],最后再进行输出。

for(int i = 1;i <= n;i++) b[i] += b[i-1];

此外，一维差分核心模板

void insert(int i ,int r,int c){
    //a[i] 后面的元素全部加上c  
    b[i]+=c; //因为a[i] = b[i] + b[i-1] + ... + b[2] + b[1];所以a[i]后面的数都会加上b[i]，b[i]加c了，a[i]后的数也会相应全部加c
    //同理a[r+1] 后面的元素都减去一个c
    b[r+1]-=c; 
}