二叉堆及其应用

• 二叉堆
• Java实现
• 二叉堆复杂度分析
• 二叉堆的应用
• • 优先队列
  • • Java实现 未完待续

• 二叉堆的根节点叫作堆顶
• 二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型。
  1. 最大堆。最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值
  2. 最小堆。最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值
• 构建二叉堆，也就是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆，本质就是让所有非叶子节点依次“下沉”。从最后一个非叶子节点开始。
• 当二叉堆插入节点时，插入位置是完全二叉树的最后一个位置
• 二叉堆删除节点的过程和插入节点的过程正好相反，所删除的是处于堆顶的节点。这时，为了继续维持完全二叉树的结构，我们把堆的最后一个节点临时补到原本堆顶的位置，然后让这个节点做下沉操作

public class BinaryHeap {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[]{1, 3, 2, 6, 5, 7, 8, 9, 10, 0};
        upAdjust(array);
        System.out.println(Arrays.toString(array));

        array = new int[]{7, 1, 3, 10, 5, 2, 8, 9, 6};
        buildHeap(array);
        System.out.println(Arrays.toString(array));
    }

    
    public static void buildHeap(int[] array) {
        // 从最后一个非叶子节点开始，依次做“下沉”调整
        for (int i = (array.length / 2) - 1; i >= 0; i--)
            downAdjust(array, i, array.length);
    }

    
    public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) {
        // temp 保存父节点值，用于最后的赋值
        int temp = array[parentIndex];
        int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
        while (childIndex < length) {
            // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子
            if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex])
                childIndex++;
            // 如果父节点小于任何一个孩子的值，则直接跳出
            if (temp <= array[childIndex]) break;
            //无须真正交换，单向赋值即可
            array[parentIndex] = array[childIndex];
            parentIndex = childIndex;
            childIndex = 2 * childIndex + 1;
        }
        array[parentIndex] = temp;
    }

    
    public static void upAdjust(int[] array) {
        int childIndex = array.length - 1;
        int parentIndex = (childIndex - 1) / 2;
        // temp 保存插入的叶子节点值，用于最后的赋值
        int temp = array[childIndex];
        while (childIndex > 0 && temp < array[parentIndex]) {
            //无须真正交换，单向赋值即可
            array[childIndex] = array[parentIndex];
            childIndex = parentIndex;
            parentIndex = (parentIndex - 1) / 2;
        }
        array[childIndex] = temp;
    }
}

• 代码中有一个优化的点，就是在父节点和孩子节点做连续交换时，并不一定要真的交换，只需要先把交换一方的值存入temp变量，做单向覆盖，循环结束后，再把temp的值存入交换后的最终位置即可

• 堆的插入和删除操作，时间复杂度是O(logn)
• 构建堆的时间复杂度并不是O(nlogn)，而是O(n)。这涉及数学推导过程

• 优先队列不再遵循先入先出的原则，而是分为两种情况。
  • 最大优先队列，无论入队顺序如何，都是当前最大的元素优先出队
  • 最小优先队列，无论入队顺序如何，都是当前最小的元素优先出队
• 可以用最大堆来实现最大优先队列，这样的话，每一次入队操作就是堆的插入操作，每一次出队操作就是删除堆顶节点。