第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)

蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组）

#A ASC
#B 卡片
- 朴素解法
- 弯道超车
#C 直线
- 直线方程集合
- 分式消除误差
- 平面几何
#D 货物摆放
- 暴力搜索
- 缩放质因子
#E 路径
- 搜索
- - 深度优先搜索
  - 记忆化搜索
  - 枝剪广搜
  - 双向搜索
- 单源最短路径
- - Dijkstra
  - Floyd
  - A*
- 动态规划
#F 时间显示
- Java Win
- 不依赖 API 的实现
#G 最少砝码
- 变种三进制
#H 杨辉三角形
- 类比单调数列
#I 双向排序
- 待更
#J 括号序列
- 待更

_Placeholder

#A ASC

本题总分：5 分

问题描述

已知大写字母 A A A 的 A S C I I ASCII ASCII 码为 65 65 65，请问大写字母 L L L 的 A S C I I ASCII ASCII 码是多少？

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

76

calcCode：

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    void run() {
        // System.out.println(65 + 'L' - 'A');
        System.out.println((int)'L');
    }
}

麻烦签到题写的认真一点，谢谢。

#B 卡片

本题总分：5 分

问题描述

小蓝有很多数字卡片，每张卡片上都是数字 0 0 0 到 9 9 9。
小蓝准备用这些卡片来拼一些数，他想从 1 1 1 开始拼出正整数，每拼一个，就保存起来，卡片就不能用来拼其它数了。
小蓝想知道自己能从 1 1 1 拼到多少。
例如，当小蓝有 30 30 30 张卡片，其中 0 0 0 到 9 9 9 各 3 3 3 张，则小蓝可以拼出 1 1 1 到 10 10 10，但是拼 11 11 11 时卡片 1 1 1 已经只有一张了，不够拼出 11 11 11。
现在小蓝手里有 0 0 0 到 9 9 9 的卡片各 2021 2021 2021 张，共 20210 20210 20210 张，请问小蓝可以从 1 1 1 拼到多少？
提示：建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

3181

朴素解法

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    void run() { System.out.println(calc(2021)); }

    int calc(int upper) {
        int[] count = new int[10];
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n)
            do
                if (++count[k % 10] > upper)
                	return n - 1;
            while ((k /= 10) > 0);
    }
}

没什么好说的。

弯道超车

观察 [ 1 , 9 ] [1,9] [1,9] 这个区间中， [ 0 , 9 ] [0,9] [0,9] 的出现情况。

在 [ 1 , 9 ] [1,9] [1,9] 中， 1 1 1 至 9 9 9 各出现 1 1 1 次。

把观察的范围扩大到 [ 1 , 99 ] [1,99] [1,99]，十位的 1 1 1 出现 [ 10 , 19 ] [10,19] [10,19] 共 10 10 10 次，十位的 2 2 2 出现 [ 20 , 29 ] [20,29] [20,29] 共 10 10 10 次， ⋯ cdots ⋯ ，十位的 9 9 9 出现 [ 90 , 99 ] [90,99] [90,99] 共 10 10 10 次，低位 [ 0 , 9 ] [0,9] [0,9] 重复出现 10 10 10 次， 1 1 1 至 9 9 9 各出现 20 20 20 次， 0 0 0 出现 9 9 9 次。

将这个观察范围继续扩大，会发现 1 1 1 的使用次数总是不小于 0 0 0 、 2 2 2 至 9 9 9，也就是说统计 0 0 0 、 2 2 2 至 9 9 9 是没有意义的。

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    void run() { System.out.println(calc(2021)); }

    int calc(int upper) {
        int count = 0;
        for (int n = 1, k = 1; ; k = ++n) {
            do
                if (k % 10 == 1) count++;
            while ((k /= 10) > 0);
            if (count >= upper)
                return count == upper ? n : n - 1;
        }
    }
}

#C 直线

本题总分：10 分

问题描述

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 2 × 3 2 × 3 2×3 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 3 , x ∈ Z , y ∈ Z } {(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z} {(x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 0 0 0 到 1 1 1 (包含 0 0 0 和 1 1 1) 之间的整数、纵坐标是 0 0 0 到 2 2 2 (包含 0 0 0 和 2 2 2) 之间的整数的点。这些点一共确定了 11 11 11 条不同的直线。
给定平面上 20 × 21 20 × 21 20×21 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 20 , 0 ≤ y < 21 , x ∈ Z , y ∈ Z } {(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z} {(x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 0 0 0 到 19 19 19 (包含 0 0 0 和 19 19 19) 之间的整数、纵坐标是 0 0 0 到 20 20 20 (包含 0 0 0 和 20 20 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

40257

直线方程集合

一种朴素的想法，是将所有点连接起来，去掉重复的线，然后统计。

为了方便表示，这里采用斜截式方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b 来表示每一条直线，其中 k k k 为直线斜率， b b b 为直线在 y y y 轴上的截距，并统一不处理斜率不存在的线，将结果加上一个 20 20 20。

注意！这段程序的结果是不准确的。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
        Set set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (double y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
                            double k = (y2 - y1) / (x2 - x1);
                            double b = -x1 * k + y1;
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Line {

        double k, b;

        Line(double b, double k) {
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
            return k == ((Line)obj).k && b == ((Line)obj).b;
        }

        @Override
        public int hashCode() {
            return (int)k ^ (int)b;
        }
    }
}

分式消除误差

斜率在浮点数表示下，精度那是参差不齐，诚然可以将误差限制在一个范围内，当绝对差落入当中时，我们就将其视为值相同。

但是对于这种需要可表示的范围小的时候，我们可以定义分式来做到无误差，而不是控制精度。

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
        Set set = new HashSet();
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++)
                for (int x2 = x1; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++)
                        if (x1 != x2){
                            Fraction k = new Fraction(y2 - y1, x2 - x1);
                            Fraction b = new Fraction(y1 * (x2 - x1) - x1 * (y2 - y1),x2 - x1);
                            set.add(new Line(k, b));
                        }
        System.out.println(set.size() + X);
    }

    class Fraction {

        int numerator, denominator;

        Fraction(int numerator, int denominator) {
            int gcd = gcd(numerator, denominator);
            this.denominator = denominator /gcd;
            this.numerator = numerator / gcd;
        }

        int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
            return this.numerator == ((Fraction)obj).numerator && this.denominator == ((Fraction)obj).denominator;
        }
    }

    class Line {

        Fraction k, b;

        Line(Fraction b, Fraction k) {
            this.k = k;
            this.b = b;
        }

        @Override
        public boolean equals(Object obj) {
            return this.k.equals(((Line)obj).k) && this.b.equals(((Line)obj).b);
        }

        @Override
        public int hashCode() {
            return k.denominator;
        }
    }
}

平面几何

这是一个平面直角坐标系，原点与 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 连成一条线段。

我们将经过这两点的直线，以及这条直线经过的点与该点于横竖轴的垂线标记出来。

显然，若直线经过 ( x 1 , y 1 ) (x_{1},y_{1}) (x1,y1)、 ( x 2 , y 2 ) (x_{2},y_{2}) (x2,y2) 两点，那么它必然也经过 ( x 1 + k ( x 1 − x 2 ) , y 1 + k ( y 1 − y 2 ) ) (x_{1} +k(x_{1} - x_{2}),y_{1} + k(y_{1} - y_{2})) (x1+k(x1−x2),y1+k(y1−y2))， k ∈ Z k in Z k∈Z。

若在连接一条直线时，将所有直线经过的点标记起来，在下次遇到已经标记过的两点，我们便可直接跳过。

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int X = 20, Y = 21;

    void run() {
        int count = 0;
        boolean[][][][] marked = new boolean[X][Y][X][Y];
        for (int x1 = 0; x1 < X; x1++)
            for (int y1 = 0; y1 < Y; y1++) {
                marked[x1][y1][x1][y1] = true;
                for (int x2 = 0; x2 < X; x2++)
                    for (int y2 = 0; y2 < Y; y2++) {
                        if (marked[x1][y1][x2][y2]) continue;
                        int x = x1, y = y1, xOffset = x - x2, yOffset = y - y2;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
                            x += xOffset;
                            y += yOffset;
                        }
                        x -= xOffset;
                        y -= yOffset;
                        while (x >= 0 && x < X && y >= 0 && y < Y) {
                            for (int i = x - xOffset, j = y - yOffset; i >= 0 && i < X && j >= 0 && j < Y; i -= xOffset, j -= yOffset) {
                                marked[x][y][i][j] = marked[i][j][x][y] = true;
                            }
                            x -= xOffset;
                            y -= yOffset;
                        }
                        count++;
                    }
            }
        System.out.println(count);
    }
}

我觉得可能会再考个差不多的，这里给大伙一个推论。

平面直角坐标系上有 n × n n × n n×n， n ≥ 2 n ge 2 n≥2 个点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < n , 0 ≤ y < n , x ∈ Z , y ∈ Z } {(x, y)|0 ≤ x < n, 0 ≤ y < n, x ∈ Z, y ∈ Z} {(x,y)∣0≤x

感兴趣的读者可以自行证明。

同时在 1 ≤ x < y < n 1 leq x < y < n 1≤x

能力有限，这里便不再继续讨论。

#D 货物摆放

本题总分：10 分

问题描述

小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
现在，小蓝有 n n n 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L 、 W 、 H L、W、H L、W、H 的货物，满足 n = L × W × H n = L × W × H n=L×W×H。
给定 n n n，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
例如，当 n = 4 n = 4 n=4 时，有以下 6 6 6 种方案： 1 × 1 × 4 1×1×4 1×1×4、 1 × 2 × 2 1×2×2 1×2×2、 1 × 4 × 1 1×4×1 1×4×1、 2 × 1 × 2 2×1×2 2×1×2、 2 × 2 × 1 2 × 2 × 1 2×2×1、 4 × 1 × 1 4 × 1 × 1 4×1×1。
请问，当 n = 2021041820210418 n = 2021041820210418 n=2021041820210418 （注意有 16 16 16 位数字）时，总共有多少种方案？
提示：建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

2430

暴力搜索

每届必考的基本算术定理。

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    long n = 2021041820210418L;

    void run() {
        List exps0 = new ArrayList();
        ArrayDeque exps1 = new ArrayDeque();
        for (int k = 2; k <= n; k++)
            if (n % k == 0) {
                int e = 0;
                while (n % k == 0) {
                    n /= k;
                    e++;
                }
                exps0.add(e);
            }
        System.out.println(dfs(exps0, exps1, 0));
    }

    int dfs(List exps0, ArrayDeque exps1, int cur) {
        if (cur == exps0.size()) {
            int comb = 1;
            for (int exp : exps1)
                comb *= exp + 1;
            return comb;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = exps0.get(cur); i >= 0; i--) {
            exps1.push(i);
            ans += dfs(exps0, exps1, cur + 1);
            exps1.pop();
        }
        return ans;
    }
}

直接套两 for 也不是不行，但这么写出来的程序，通常到比赛结束都跑不完。

因此我们要避免无效因子的判断，

这里统计的为质因子分成三份，可能的组合个数，它与原命题等价。

没什么好讲的。

只用套两 for 是因为一个数的因子只能成对出现，

扫一下数盲。

缩放质因子

举个例子，

当 n = 9 n = 9 n=9 时，有 6 6 6 种方案： 1 × 1 × 9 1×1×9 1×1×9、 1 × 3 × 3 1×3×3 1×3×3、 1 × 9 × 1 1×9×1 1×9×1、 3 × 1 × 3 3×1×3 3×1×3、 3 × 3 × 1 3 × 3 × 1 3×3×1、 9 × 1 × 1 9 × 1 × 1 9×1×1;

当 n = 25 n = 25 n=25 时，有 6 6 6 种方案： 1 × 1 × 25 1×1×25 1×1×25、 1 × 5 × 5 1×5×5 1×5×5、 ⋯ cdots ⋯ ;

当 n = p 2 n =p^{2^{}} n=p2 时，有 6 6 6 种方案： 1 × 1 × p 2 1×1×p^{2} 1×1×p2、 1 × p × p 1×p×p 1×p×p、 ⋯ cdots ⋯ ;

其中 p p p 为质数。

其实上例解法当中，我们就能发现，组合的个数与其具体的值无关，它只与质因数指数挂钩。

2021041820210418 = 2 × 3 3 × 17 × 131 × 2857 × 5882353 2021041820210418 = 2 × 3^3 × 17 × 131 × 2857 × 5882353 2021041820210418=2×33×17×131×2857×5882353

如果我们找最小的几个质数来代替它们，得到的新数字 2 3 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 120120 2^3 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 120120 23×3×5×7×11×13=120120 与 2021041820210418 2021041820210418 2021041820210418 在这个命题下等价。

而 120120 120120 120120 的大小就足够我们真暴搜把它的全部因数组合找到了。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    long N = 2021041820210418L;

    void run() {
        List exps = new ArrayList();
        for (int k = 2; k <= N; k++)
            if (N % k == 0) {
                int e = 0;
                while (N % k == 0) {
                    N /= k;
                    e++;
                }
                exps.add(e);
            }
        exps.sort((a, b) -> (b - a));
        int n = 1, p = 2, ans = 0;
        for (int exp : exps) {
            for (int i = 2; i * i <= p; i++)
                if (p % i == 0) {
                    i = 1;
                    p++;
                }
            while (exp-- > 0) n *= p;
            p++;
        }
        for (int a = 1; a <= n; a++)
            if (n % a == 0)
                for (int b = 1; b <= n; b++)
                    if (n / a % b == 0) ans++;
        System.out.println(ans);
    }
}

#E 路径

本题总分：15 分

问题描述

小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。
小蓝的图由 2021 2021 2021 个结点组成，依次编号 1 1 1 至 2021 2021 2021。对于两个不同的结点 a , b a, b a,b，如果 a a a 和 b b b 的差的绝对值大于 21 21 21，则两个结点之间没有边相连；如果 a a a 和 b b b 的差的绝对值小于等于 21 21 21，则两个点之间有一条长度为 a a a 和 b b b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 1 1 和结点 23 23 23 之间没有边相连；结点 3 3 3 和结点 24 24 24 之间有一条无向边，长度为 24 24 24；结点 15 15 15 和结点 25 25 25 之间有一条无向边，长度为 75 75 75。
请计算，结点 1 1 1 和结点 2021 2021 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示：建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

10266837

题目已经说的够清楚了，

建一个有 2021 2021 2021 个顶点 21 × 2000 + 21 ( 21 + 1 ) 2 21 × 2000 + cfrac{21(21 + 1)}{2} 21×2000+221(21+1) 条边的无向图，跑图上的算法就完事了。

还有的细节就是整形是否会溢出，我们取 ( 1 , 2021 ] (1,2021] (1,2021] 中最大的质数 2017 2017 2017 与 202 1 2 2021^2 20212 相乘，得到的结果还是有点夸张的，虽然经过测试，可能的线路权值合至多不会超过 2 31 − 1 2^{31} - 1 231−1，但毕竟是面向竞赛，考虑甄别的时间成本，直接使用长整形更为划算。

搜索

深度优先搜索

2021 2021 2021 个顶点，绝大多数顶点都连有 2 × 21 2 × 21 2×21 条边，

别深搜了，一搜就是

compilaition completed successfully in 500ms(4 hour ago)

就，电脑跟选手对着坐牢。

记忆化搜索

深度优先搜索，在搜索最优结果时，通常需要完整的枚举全部可能的问题状态。

但在这个问题状态的集合中，所有可选方案的 “后缀” 都是相同，也就是所有可选的分支，它们都是以同一个节点结尾。

如果我们将已经搜索到的节点到目标节点间的最短路径保存下来，在再次搜索到这个 “后缀” 的分支时直接返回。

那么问题就可能在一个较短的时间内解决。

这也是所谓的记忆化搜索。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;

    int[] weight = new int[N + 1];

    List[] graph = new List[N + 1];

    boolean[] visited = new boolean[N + 1];

    void run() {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            graph[i] = new ArrayList();
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        visited[1] = true;
        System.out.println(dfs(1));
    }

    int dfs(int v) {
        if (v == N) return 0;
        if (weight[v] != 0) return weight[v];
        int min = 0x7FFFFFFF;
        for (Edge edge : graph[v]) {
            if (visited[edge.w]) continue;
            visited[edge.w] = true;
            min = min(min, dfs(edge.w) + edge.weight);
            visited[edge.w] = false;
        }
        return weight[v] = min;
    }

    int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }
}

枝剪广搜

其实朴素的去搜索，不论深搜还是广搜，在竞赛里都是很冒进的行为，

影响这两个算法执行效率的因素太多。

当然要是没有其他的思路，也只能死马当活马医了。

幸运的是，只需简单的枝剪，就能在很短的时间计算出结果

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;
    
    void run() {
        List[] graph = new List[N + 1];
        long[] visited = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            graph[i] = new ArrayList();
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue queue = new PriorityQueue();
        Arrays.fill(visited, Long.MAX_VALUE);
        queue.offer(new Vertex(1, 0));
        Vertex V = null;
        while (queue.size() > 0) {
            V = queue.poll();
            if (V.v == N) break;
            if (V.weight >= visited[V.v]) continue;
            visited[V.v] = V.weight;
            for (Edge edge : graph[V.v])
                queue.offer(new Vertex(edge.w, edge.weight + V.weight));
        }
        System.out.println(V.weight);
    }

    int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable {

        int v;
        long weight;

        Vertex(int v, long weight) {
            this.weight = weight;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) { return Long.compare(this.weight, V.weight); }
    }
}

双向搜索

很容易就能发现，越是编号大的节点，连接着它的边的权重可能越大。

也就是在最短路径的这条分支中，越是靠近目标节点，就越可能进入无效的分支。

通常，在这个数据规模下，不带策略的去广搜是致命的。

一种常见的优化方法是从源点和终点双向开始搜索，当两条分支相遇时，即视为找到了最短路径。

由于这种问题可选择的解法有很多，这里便不做展开。

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
        List[] graph = new List[N + 1];
        long[] visited0 = new long[N + 1];
        long[] visited1 = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            graph[i] = new ArrayList();
            visited0[i] = visited1[i] = Long.MAX_VALUE;
        }
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue queue = new PriorityQueue();
        queue.offer(new Vertex(N, 0, false));
        queue.offer(new Vertex(1, 0));
        Vertex V = null;
        while (true) {
            V = queue.poll();
            if (V.fromHead) {
                if (visited1[V.v] != Long.MAX_VALUE) break;
                if (V.weight >= visited0[V.v]) continue;
                visited0[V.v] = V.weight;
            } else {
                if (visited0[V.v] != Long.MAX_VALUE) break;
                if (V.weight >= visited1[V.v]) continue;
                visited1[V.v] = V.weight;
            }
            for (Edge edge : graph[V.v])
                queue.add(new Vertex(edge.w, edge.weight + V.weight, V.fromHead));
        }
        System.out.println(V.weight + (V.fromHead ? visited1[V.v] : visited0[V.v]));
    }

    int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable {

        int v;
        long weight;
        boolean fromHead;

        Vertex(int v, long weight) { this(v, weight, true); }

        Vertex(int v, long weight, boolean fromHead) {
            this.fromHead = fromHead;
            this.weight = weight;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) { return Long.compare(this.weight, V.weight); }
    }
}

单源最短路径

Dijkstra

题目给出的图显然是个边加权，权重非负的无向图，跑遍 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 就完事了。

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Queue;
import java.util.List;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
        boolean[] marked = new boolean[N + 1];
        List[] graph = new List[N + 1];
        long[] distTo = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            graph[i] = new ArrayList();
            distTo[i] = Long.MAX_VALUE;
        }
        for (int v = 1; v <  N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(v + 21, N);  w++) {
                graph[v].add(new Edge(w, lcm(v, w)));
                graph[w].add(new Edge(v, lcm(v, w)));
            }
        Queue queue = new PriorityQueue();
        queue.offer(new Vertex(1, distTo[1] = 0));
        while (queue.size() > 0) {
            Vertex V = queue.poll();
            if (marked[V.v])
                    continue;
            marked[V.v] = true;
            for (Edge edge : graph[V.v])
                if (distTo[edge.w] > distTo[V.v] + edge.weight)
                    queue.offer(new Vertex(edge.w, distTo[edge.w] = distTo[V.v] + edge.weight));
        }
        System.out.println(distTo[N]);
    }

    int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

    class Edge {

        int w, weight;

        Edge(int w, int weight) {
            this.weight = weight;
            this.w = w;
        }
    }

    class Vertex implements Comparable {

        int v;
        long dist;

        Vertex(int v, long dist) {
            this.dist = dist;
            this.v = v;
        }

        @Override
        public int compareTo(Vertex V) { return Long.compare(this.dist, V.dist); }
    }
}

Floyd

如果是一道最短路径的结果题。

竞赛时限内能运行完 O ( n 3 ) O(n^{3}) O(n3) 的程序。

那其实无脑套 F l o y d Floyd Floyd 就行。

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
        long[][] floyd = new long[N + 1][N + 1];
        for (int v = 1; v < N; v++)
            for (int w = v + 1; w <= min(N, v + 21); w++)
                floyd[v][w] = floyd[w][v] = lcm(v, w);
        for (int k = 1; k <= N; k++)
            for (int v = 1; v <= N; v++)
                if (floyd[v][k] == 0) continue;
                else for (int w = 1; w <= N; w++)
                    if (floyd[k][w] == 0) continue;
                    else if (floyd[v][w] == 0 || floyd[v][k] + floyd[k][w] < floyd[v][w])
                        floyd[v][w] = floyd[v][k] + floyd[k][w];
        System.out.println(floyd[1][N]);
    }

    long min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
}

半分钟就出来了，还行。

隐隐觉得能找到一些有启发性的性质。

推了一下午狗屁没推出来，就当在这开个坑把。

在这里插入代码片

动态规划

受不同的图性质影响，通常最短路径问题难以在线性时间内用动态规划解决。

但这里给定无向图，

我们将最短路径上的节点按升序排列，对于任意 v v v、 w w w， 1 < v < w < n 1 < v < w < n 1

但只有序号的绝对差小于等于 21 21 21 时，两个节点之间才存在边，即二图情况的前提条件是 1 < v < w ≤ 22 1 < v < w leq 22 1

显然，从源点到任意点 V V V 的最短路径只会从 [ V − 21 , V + 21 ] [V -21,V+21] [V−21,V+21] 中产生，我们先顺序的求出每个 W = V + 21 W = V + 21 W=V+21 较优路径，再用每个 W W W 对 [ W − 21 , W ) [W - 21, W) [W−21,W) 间的节点进行松弛，松弛完毕时 ( 1 , V ] (1,V] (1,V] 间的路径已是最优。

综上有状态转移方程：

d p ( i ) = min ⁡ { d p ( j ) + l c m ( i , j ) } dp(i) = min{dp(j) + lcm(i, j)} dp(i)=min{dp(j)+lcm(i,j)}， i > j ≥ i − 21 i > j ge i -21 i>j≥i−21

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    int N = 2021;

    void run() {
        long[] dp = new long[N + 1];
        for (int w = 2; w <= N; w++) {
            dp[w] = Long.MAX_VALUE;
            for (int v = w - 1; v > 0 && v >= w - 21; v--)
                dp[w] = min(dp[w], dp[v] + lcm(v, w));
        }
        System.out.println(dp[N]);
    }

    long min(long a, long b) { return a < b ? a : b; }

    int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); }

    int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
}

#F 时间显示

时间限制: 1.0 1.0 1.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分： 15 15 15 分

问题描述

小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。在服务器上，朋友已经获取了当前的时间，用一个整数表示，值为从 1970 1970 1970 年 1 1 1 月 1 日 00 : 00 : 00 00:00:00 00:00:00 到当前时刻经过的毫秒数。
现在，小蓝要在客户端显示出这个时间。小蓝不用显示出年月日，只需显示出时分秒即可，毫秒也不用显示，直接舍去即可。
给定一个用整数表示的时间，请将这个时间对应的时分秒输出。

输入格式

输入一行包含一个整数，表示时间。

输出格式

输出时分秒表示的当前时间，格式形如 H H HH HH: M M MM MM: S S SS SS，其中 H H HH HH 表示时，值为 0 0 0 到 23 23 23， M M MM MM 表示分，值为 0 0 0 到 59 59 59， S S SS SS 表示秒，值为 0 0 0 到 59 59 59。时、分、秒不足两位时补前导 0 0 0。

测试样例₁

Input：
46800999

Output：
13:00:00

测试样例₂

Input：
1618708103123

Output：
01:08:23

评测用例规模与约定

对于所有评测用例，给定的时间为不超过 1 0 18 10^{18} 1018 的正整数。

Java Win

import java.util.Scanner;
import java.time.LocalTime;
import java.time.format.DateTimeFormatter;

public class Main {

    public static void main(String[] args) { new Main().run(); }

    void run() {
        System.out.println(
            LocalTime.MIDNIGHT.
            plusSeconds(
            	new Scanner(System.in).nextLong() / 1000).
            format(DateTimeFormatter.ISO_LOCAL_TIME)
        );
    }
}

不依赖 API 的实现

import java.util.Scanner;

public class Test {

    public static void main(String[] args) { new Test().run(); }

    void run() {
        long t = new Scanner(System.in).nextLong();
        System.out.printf("%02d:%02d:%02d",
            t / 3600000 % 24, t / 60000 % 60, t / 1000 % 60);
    }
}

送分。

#G 最少砝码

时间限制: 1.0 1.0 1.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分： 20 20 20 分

问题描述

你有一架天平。现在你要设计一套砝码，使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 N N N 的正整数重量。
那么这套砝码最少需要包含多少个砝码？
注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入包含一个正整数 N N N。

输出格式

输出一个整数代表答案。

测试样例₁

Input：
7

Output：
3

Explanation：
3 个砝码重量是 1、4、6，可以称出 1 至 7 的所有重量。
1 = 1；
2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；
3 = 4 − 1；
4 = 4；
5 = 6 − 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；
少于 3 个砝码不可能称出 1 至 7 的所有重量。

评测用例规模与约定

对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 1000000000 1 ≤ N ≤ 1000000000 1≤N≤1000000000。

变种三进制

不知道怎么取标题，也算是个规律题，

这不是纯纯的恶心人吗。

一个集合中包含 n n n 个数，任取若干数可以加减出任意小于等于 N N N 的正整数。

首先要考虑怎么去满足题目要求的性质，

设第 i i i 个砝码的重量为 w i w_{i} wi，原集合 A N = { w 1 , w 2 , ⋯ , w n } A_{N} = {w_{1},w_{2},cdots,w_{n}} AN={w1,w2,⋯,wn}。

要满足题意首先要有 s u m ( A ) ≥ N sum(A) ge N sum(A)≥N，

设我们知道了 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{lfloor N/3 rfloor} A⌊N/3⌋ 的方案，那么我们就能在这个方案里加入一个 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2lfloor N/3 rfloor + 1 2⌊N/3⌋+1，就能用 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2lfloor N/3 rfloor + 1 2⌊N/3⌋+1 对 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{lfloor N/3 rfloor} A⌊N/3⌋ 中个若干元素做差表示出 ( ⌊ N / 3 ⌋ , 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 ) (lfloor N/3 rfloor, 2lfloor N/3 rfloor + 1) (⌊N/3⌋,2⌊N/3⌋+1)，对若干元素求和表示出 ( 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 , N ] (2lfloor N/3 rfloor + 1, N] (2⌊N/3⌋+1,N]，并入 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{lfloor N/3 rfloor} A⌊N/3⌋ 本身能表示的范围，即能表示出任意小于等于 N N N 的正整数。

如果 A ⌊ N / 3 ⌋ A_{lfloor N/3 rfloor} A⌊N/3⌋ 本身是最优的，那么往里面加入 K = 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 K = 2lfloor N/3 rfloor + 1 K=2⌊N/3⌋+1 的 A N A_N AN 也一定是最优的，因为要使得 K + s u m ( A ⌊ N / 3 ⌋ ) ≥ N K + sum(A_{lfloor N/3 rfloor}) ge N K+sum(A⌊N/3⌋)≥N， K K K 必须大于等于 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 2lfloor N/3 rfloor + 1 2⌊N/3⌋+1，而当 K > 2 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 K > 2lfloor N/3 rfloor + 1 K>2⌊N/3⌋+1 时，就无法表示出 ⌊ N / 3 ⌋ + 1 lfloor N/3 rfloor + 1 ⌊N/3⌋+1，

当然这一切还有个前提条件，那就是 s u m ( A ⌊ N / 3 ⌋ ) = ⌊ N / 3 ⌋ sum(A_{lfloor N/3 rfloor}) = lfloor N/3 rfloor sum(A⌊N/3⌋)=⌊N/3⌋。’

不过到这里已经足够启发我们去顺推了，

因为这个问题的边界是显然的，

当 N = 1 N = 1 N=1 时， A 1 = { 1 } A_{1} = {1} A1={1}，

我们往 A 1 A_{1} A1 中加入 2 × s u m ( A 1 ) + 1 2 × sum(A_{1}) + 1 2×sum(A1)+1，得到 A 4 A_{4} A4，即

当 N = 4 N = 4 N=4 时， A 4 = { 1 , 3 } A_{4} = {1,3} A4={1,3}，

当 N = 13 N = 13 N=13 时， A 13 = { 1 , 3 , 9 } A_{13} = {1,3,9} A13={1,3,9}，

⋯ ⋯ cdots cdots ⋯⋯

当然还存在 N N N 不在我们找到的最优规律中。

我们设 N = 5 N = 5 N=5，

因为 A 4 = { 1 , 3 } A_{4} = {1,3} A4={1,3} 的最优性， 2 2 2 个元素至多组成任意小于等于 4 4 4 的正整数，

因为 A 13 = { 1 , 3 , 9 } A_{13} = {1,3,9} A13={1,3,9} 的最优性， 3 3 3 个元素可以表示任意小于等于 13 13 13 的正整数。

即对 N = 5 N = 5 N=5 给出的答案，必须大于 2 2 2 小于等于 3 3 3。

对于给出任意 N N N 我们都可以按照这个性质求出答案。

同时在三进制下来看这个规律：

{ N } = { ( 1 ) 3 , ( 11 ) 3 , ( 11 ) 3 , ⋯ } {N} = {(1)_{3},(11)_{3},(11)_{3},cdots} {N}={(1)3,(11)3,(11)3,⋯}

可以二分，但没有必要。

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) { new Main().run(); }

    void run() {
        long N = new Scanner(System.in).nextLong(), ans = 1;
        for (long pow3 = 1; pow3 < N; pow3 = pow3 * 3 + 1, ans++);
        System.out.println(ans);
    }
}

写的稀烂，主要这题目出的就恶心人。

#H 杨辉三角形

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分： 20 20 20 分

下面的图形是著名的杨辉三角形：
如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：

1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 4 , 6 , 4 , 1 , ⋯ 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, cdots 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯
给定一个正整数 N N N，请你输出数列中第一次出现 N N N 是在第几个数？

输入格式

输入一个整数 N N N。

输出格式

输出一个整数代表答案。

测试样例₁

Input：
6

Output：
13

评测用例规模与约定

对于 20 20 20% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 10 1 ≤ N ≤ 10 1≤N≤10；
对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 1000000000 1 ≤ N ≤ 1000000000 1≤N≤1000000000。

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类比单调数列

杨辉三角最外层全部是 1 1 1。

第二层则是自然数序列。

因为杨辉三角是左右对称的，因此我们可以忽略右边(左边的数字总是比右边先出现)，并将数字按层分成若干序列。

由于序列都是从上置下单调递增的，我们可以在每一个这种序列上，二分查找 N N N 的位置，特别的， N = 1 N = 1 N=1 时直接输出 1 1 1。

此外，杨辉三角第 n n n 行 m 列列列

= C n − 1 m − 1 = ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) ! ( n − m ) ! =C_{n-1}^{m-1} = cfrac{(n-1)!}{(m-1)!(n - m)!} =Cn−1m−1=(m−1)!(n−m)!(n−1)!

这个数字增长的非常快 C 32 16 = 1166803110 > 1 e 9 C_{32}^{16} = 1166803110 > 1e9 C3216=1166803110>1e9。

也就至多在 14 14 14 条(除去最外两层)这样的序列中查找 N N N 的位置，因为序列的单调性不允许 N N N 的出现。

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) { new Main().run(); }

    int N;

    void run() {
        N = new Scanner(System.in).nextInt();
        if (N == 1) System.out.println(1);
        else {
            long ans = (N + 1L) * N / 2 + 2;
            for (int m = 2; m < 16; m++) {
                int start = m * 2, end = N;
                while (start <= end) {
                    int mid = start + end >> 1;
                    if (C(mid, m) == N) {
                        ans = min(ans, (mid + 1L) * mid / 2 + m + 1);
                        break;
                    } if (C(mid, m) > N) end = mid - 1;
                    else start = mid + 1;
                }
            }
            System.out.println(ans);
        }
    }

    long min(long a, long b) { return a < b ? a : b; }

    long C(int n, int m) {
        long num = 1;
        for (int nm = 1; nm <= m; n--, nm++)
            if ((num = num * n / nm) > N) return num;
        return num;
    }
}

#I 双向排序

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分： 25 25 25 分

问题描述

给定序列 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) = ( 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) (a_{1}, a_{2}, · · · , a_{n}) = (1, 2, · · · , n) (a1,a2,⋅⋅⋅,an)=(1,2,⋅⋅⋅,n)，即 a i = i a_{i} = i ai=i。
小蓝将对这个序列进行 m m m 次操作，每次可能是将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_{1}, a_{2}, · · · , a_{q_{i}} a1,a2,⋅⋅⋅,aqi 降序排列，或者将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_{i}}, a_{q_{i+1}}, · · · , a_{n} aqi,aqi+1,⋅⋅⋅,an 升序排列。
请求出操作完成后的序列。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 n , m n, m n,m，分别表示序列的长度和操作次数。
接下来 m m m 行描述对序列的操作，其中第 i i i 行包含两个整数 p i , q i p_{i}, q_{i} pi,qi 表示操作类型和参数。当 p i = 0 p_{i} = 0 pi=0 时，表示将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_{1}, a_{2}, · · · , a_{q_{i}} a1,a2,⋅⋅⋅,aqi 降序排列；当 p i = 1 p_{i} = 1 pi=1 时，表示将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_{i}}, a_{q_{i+1}}, · · · , a_{n} aqi,aqi+1,⋅⋅⋅,an 升序排列。

输出格式

输出一行，包含 n n n 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示操作完成后的序列。

测试样例₁

Input：
3 3
0 3
1 2
0 2

Output：
3 1 2

Explanation：
原数列为 (1, 2, 3)。
第 1 步后为 (3, 2, 1)。
第 2 步后为 (3, 1, 2)。
第 3 步后为 (3, 1, 2)。与第 2 步操作后相同，因为前两个数已经是降序了。

评测用例规模与约定

对于 30 30 30% 的评测用例， n , m ≤ 1000 n, m ≤ 1000 n,m≤1000；
对于 60 60 60% 的评测用例， n , m ≤ 5000 n, m ≤ 5000 n,m≤5000；
对于所有评测用例， 1 ≤ n , m ≤ 100000 1 ≤ n, m ≤ 100000 1≤n,m≤100000， 0 ≤ p i ≤ 1 0 ≤ p_{i} ≤ 1 0≤pi≤1， 1 ≤ q i ≤ n 1 ≤ q_{i} ≤ n 1≤qi≤n；

待更

#J 括号序列

时间限制: 5.0 5.0 5.0s 内存限制: 512.0 512.0 512.0MB 本题总分： 25 25 25 分

问题描述

给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。
两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。
例如，对于括号序列 ((()，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：()()()、()(())、(())()、(()()) 和 ((()))。

输入格式

输入一行包含一个字符串 s s s，表示给定的括号序列，序列中只有左括号和右括号。

输出格式

输出一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 1000000007 1000000007 (即 1 0 9 + 7 10^{9} + 7 109+7) 的余数。

测试样例₁

Input：
((()

Output：
5

评测用例规模与约定

对于 40 40 40% 的评测用例， ∣ s ∣ ≤ 200 |s| ≤ 200 ∣s∣≤200。
对于所有评测用例， 1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 5000 1 ≤ |s| ≤ 5000 1≤∣s∣≤5000。

待更

第十二届蓝桥杯 2021年省赛真题 (Java 大学B组) 第一场 (更新中)

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