- 创作背景
- 回归与分类的区别
- 回归向分类的转变
- 饱和函数
- sigmoid 函数（logistic 函数）
- 极大似然估计
- 梯度下降更新公式
- 代码实现
- 自己实现
- 利用 sklearn 实现
- 参考资料
- 结尾
本菜鸡最近想学学 机器学习，这不，刚开始。
如果觉得我这篇文章写的好的话，能不能给我 点个赞 ，评论 一波。如果要点个 关注 的话也不是不可以珞
- 回归 要预测的结果是 具体的数值，根据训练数据预测某一输入对应的输出数据。输出的结果是 实数。
- 分类 要判断的结果是 类别，根据训练数据预测 分类正确的概率 （属于 [0, 1]），进而输出 判断的类别 。
既然都是 预测，使用相同的 x ，只是输出从原来的 实数 变成了 类别，那我们就用一个函数将结果从 实数集 映射到 [0, 1] 中，然后再转成对应分类不就行了呗。
- 举个栗子：
- 有两个类别的实例，o 代表正例，x 代表负例
- 可以找到一个超平面 w T x + b = 0 {w}^{T}x+b=0 wTx+b=0 将两类实例分隔开，即 正确分类
- 其中， w ∈ R n w in {mathbb{R}}^{n} w∈Rn 为超平面的 法向量 ， b ∈ R b in mathbb{R} b∈R 为 偏置
- 超平面上方的点都满足 w T x + b > 0 {w}^{T}x+b>0 wTx+b>0
- 超平面下方的点都满足 w T x + b < 0 {w}^{T}x+b<0 wTx+b<0
- 可以根据以下 x 的线性函数值（与 0 的比较结果）判断实例类别： z = g ( x ) = w T x + b z=g(x)={w}^{T}x+b z=g(x)=wTx+b
- 分类函数以 z 为输入，输出预测的类别： c = H ( z ) = H ( g ( x ) ) c=H(z)=H(g(x)) c=H(z)=H(g(x))
- 以上是 线性分类器 的基本模型。
有个方法可以实现 线性分类器 ，那就是 Logistic 回归。
- Logistic 回归是一种 广义线性 模型，使用 线性判别式函数 对实例进行分类。
而一般实现这种分类方法的函数是 sigmoid 函数。（因为其中最为出名的是 logistic 函数，所以也被称为 logistic 函数）。
饱和函数先看一下 饱和函数，至于为什么要看这个函数，因为 Sigmoid 函数都需要满足这个函数，具体见下述 sigmoid （也即 logistic） 函数。
- x < 0 时，导数值 ↑，x ≥ 0 时，导数值 ↓ ，即，将导函数为 正态分布 的分布函数称为 饱和函数 。
- 看一下图像。
一些饱和函数
- 单位阶跃函数 δ
- e r f ( π 2 x ) erf(frac{sqrt {pi}}{2}x) erf(2π x)
- 2 π arctan ( π 2 x ) frac{2}{pi} arctan {(frac{pi}{2}x)} π2arctan(2πx)
- 2 π g d ( π 2 x ) frac{2}{pi} gd(frac{pi}{2}x) π2gd(2πx)
- x 1 + ∣ x ∣ frac{x}{1+|x|} 1+∣x∣x
图像如下
它们的导函数是服从 正态分布 的，图像如下
所以，最理想的分类函数为 单位阶跃函数 ，直上直下的，是 饱和函数 的一种。如下图
也就是
H
(
z
)
=
{
0
,
x
<
0
0.5
,
x
=
0
1
,
x
>
0
H(z)= begin{cases} 0, x<0 \ 0.5, x=0 \ 1, x>0 end{cases}
H(z)=⎩⎪⎨⎪⎧0,x<00.5,x=01,x>0
- 但单位阶跃函数作为分类函数有一个严重缺点，不连续，所以 不是处处可微，使得一些算法不可用（如 梯度下降）。
- 找一个 输入输出特性与单位阶跃函数类似，并且 单调可微的函数 来代替阶跃函数，sigmoid 函数是一种常用替代函数。
sigmoid 函数是一类函数，满足以下函数特征即可：
- 有极限
- 单调 增 函数
- 满足 饱和函数 （知道我为什么要提到 饱和函数 了吧(●’◡’●)）
函数定义
σ
(
x
)
=
1
1
+
e
−
z
sigma(x)=frac{1}{1+{e}^{-z}}
σ(x)=1+e−z1
- 一般 σ sigma σ 函数就指 logistic 函数
logistic 函数的值域在 (0,1) 之间连续，函数的输出可视为 x 条件下实例为正例的条件概率 ，即
P
(
y
=
1
∣
x
)
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
P(y=1|x)=sigma (g(x))=frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
P(y=1∣x)=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1
x 条件下实例为负例的条件概率为
P
(
y
=
0
∣
x
)
=
1
−
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
(
w
T
x
+
b
)
P(y=0|x)=1-sigma (g(x))=frac{1}{1+{e}^{({w}^{T}x+b)}}
P(y=0∣x)=1−σ(g(x))=1+e(wTx+b)1
logistic 函数是 对数概率函数 的 反函数，一个事件的概率指该事件发生的概率 p 与该事件不发生的概率 1-p 的比值。
- 对数概率为
log p 1 − p log{frac{p}{1-p}} log1−pp - 对数概率大于 0 表明 正例 的概率大，反之，则 负例 的概率大。
Logistic 回归模型假设一个实例为正例的对数概率是输入 x 的 线性函数，即：
log
p
1
−
p
=
w
T
x
+
b
log {frac{p}{1-p}}={w}^{T}x+b
log1−pp=wTx+b
反求 p ，即：
p
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
p = sigma(g(x))=frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
p=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1
logistic 函数有个很好的数学特性，
σ
(
z
)
sigma(z)
σ(z) 一阶导数形式简单，并且关于其本身的函数：
d
σ
(
z
)
d
z
=
σ
(
z
)
(
1
−
σ
(
z
)
)
frac{d sigma(z)}{dz} = sigma(z) (1-sigma(z))
dzdσ(z)=σ(z)(1−σ(z))
Logistic 回归模型假设函数为
h
w
,
b
(
x
)
=
σ
(
g
(
x
)
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
+
b
)
{h}_{w,b}(x) = sigma (g(x)) = frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x+b)}}
hw,b(x)=σ(g(x))=1+e−(wTx+b)1
将 b 纳入权向量 w ，假设函数更改为
h
w
(
x
)
=
1
1
+
e
−
(
w
T
x
)
{h}_{w}(x) = frac{1}{1+{e}^{-({w}^{T}x)}}
hw(x)=1+e−(wTx)1
- 根据 h w ( x ) {h}_{w}(x) hw(x) 的概率意义，有
P ( y = 1 ∣ x ) = h w ( x ) P ( y = 0 ∣ x ) = 1 − h w ( x ) P(y=1|x)={h}_{w}(x) \ P(y=0|x)=1-{h}_{w}(x) P(y=1∣x)=hw(x)P(y=0∣x)=1−hw(x)
- 由此可得，训练集 D 中的某样本 ( x i , y i ) ({x}_{i}, {y}_{i}) (xi,yi) ，模型将输入实例 x i {x}_{i} xi 预测为类别 y i {y}_{i} yi 的概率为
P ( y = y i ∣ x i ; w ) = h w ( x i ) y i ( 1 − h w ( x i ) ) 1 − y i P(y={y}_{i}|{x}_{i};w)={h}_{w}({x}_{i})^{{y}_{i}}(1-{h}_{w}({x}_{i}))^{1-{y}_{i}} P(y=yi∣xi;w)=hw(xi)yi(1−hw(xi))1−yi
- 训练集 D 各样本独立同分布，定义似然函数 L(w) 描述训练集中 m 个样本同时出现的概率，公式如下：
L ( w ) = Π i = 1 m P ( y = y i ∣ x i ; w ) = ∏ i = 1 m h w ( x i ) y i ( 1 − h w ( x i ) ) 1 − y i L(w)=Pi^{m}_{i=1}{P(y={y}_{i}|{x}_{i};w)} \ =prod limits_{i=1}^{m}{h}_{w}({x}_{i})^{{y}_{i}}(1-{h}_{w}({x}_{i}))^{1-{y}_{i}} L(w)=Πi=1mP(y=yi∣xi;w)=i=1∏mhw(xi)yi(1−hw(xi))1−yi
用 极大似然法 估计参数 w 的核心思想是
- 选择参数 w，使得当前已经观测到的数据（训练集中的 m 个样本）最有可能出现（概率最大），即：
w ^ = a r g w m a x L ( w ) hat{w}={arg}_{w}max , L(w) w^=argwmaxL(w)
- 为了 方便求极值点 ，可将找 L(w) 的极值点转化为找其对数似然函数 ln(L(w)) 的最大值点，即：
w ^ = a r g w m a x l n ( L ( w ) ) hat{w} = {arg}_{w}max , ln(L(w)) w^=argwmaxln(L(w))
- 根据定义，对数似然函数为
l ( w ) = l n ( L ( w ) ) = ∑ i = 1 m y i l n ( h w ( x i ) ) + ( 1 − y i ) l n ( 1 − h w ( x i ) ) l(w)=ln(L(w))=displaystyle sum ^{m}_{i=1}{{y}_{i}ln({h}_{w}({x}_{i}))}+(1-{y}_{i})ln(1-{h}_{w}({x}_{i})) l(w)=ln(L(w))=i=1∑myiln(hw(xi))+(1−yi)ln(1−hw(xi))
梯度下降更新公式对于 Logistic 回归模型，可以定义其损失为：
J ( w ) = − 1 m l ( w ) = − 1 m ∑ i = 1 m y i l n ( h w ( x i ) ) + ( 1 − y i ) l n ( 1 − h w ( x i ) ) J(w)=-frac{1}{m} l(w)=-frac{1}{m} displaystyle sum ^{m}_{i=1}{{y}_{i} ln({h}_{w}({x}_{i}))+(1-{y}_{i}) ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))} J(w)=−m1 l(w)=−m1i=1∑myi ln(hw(xi))+(1−yi) ln(1−hw(xi))
- 此时，求出损失函数 最小值 与求出对数似然函数 最大值 等价，求损失函数最小值依然可以使用 梯度下降算法 ，最终估计出模型参数 w ^ hat{w} w^
计算 J(w) 对分量 w j {w}_{j} wj 的偏导数（就对上边的公式 求导）
∂
∂
w
j
J
(
w
)
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
y
i
l
n
h
w
(
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
l
n
(
1
−
h
w
(
x
i
)
)
frac{partial}{partial {w}_{j}}J(w)=-frac{1}{m}displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i}ln{h}_{w}({x}_{i})+(1-{y}_{i})ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))}
∂wj∂J(w)=−m1i=1∑myilnhw(xi)+(1−yi)ln(1−hw(xi))
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
y
i
∂
∂
w
j
l
n
h
w
(
x
i
)
+
(
1
−
y
i
)
∂
∂
w
j
l
n
(
1
−
h
w
(
x
i
)
)
=-frac{1}{m}displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i}frac{partial }{partial {w}_{j}}ln{h}_{w}({x}_{i})+(1-{y}_{i})frac{partial}{partial {w}_{j}}ln(1-{h}_{w}({x}_{i}))}
=−m1i=1∑myi∂wj∂lnhw(xi)+(1−yi)∂wj∂ln(1−hw(xi))
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
y
i
1
h
w
(
x
i
)
∂
h
w
(
x
i
)
∂
z
i
∂
z
i
w
j
+
(
1
−
y
i
)
1
1
−
h
w
(
x
i
)
(
−
∂
h
w
(
x
i
)
∂
z
i
)
∂
z
i
w
j
=- frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}{{y}_{i} frac{1}{{h}_{w}({x}_{i})} frac{partial {h}_{w}({x}_{i})}{partial {z}_{i}} frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}} + (1-{y}_{i}) frac{1}{1-{h}_{w}({x}_{i})} (-frac{partial {h}_{w}({x}_{i})}{partial {z}_{i}}) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}}}
=−m1i=1∑myi hw(xi)1∂zi∂hw(xi)wj∂zi+(1−yi)1−hw(xi)1(−∂zi∂hw(xi))wj∂zi
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
(
y
i
h
w
(
x
i
)
⋅
(
1
−
h
w
(
x
i
)
h
w
(
x
i
)
−
(
1
−
y
i
)
h
w
(
x
i
)
⋅
(
1
−
h
w
(
x
i
)
)
(
1
−
h
w
(
x
i
)
)
)
∂
z
i
w
j
=-frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({y}_{i} frac{{h}_{w}({x}_{i}) cdot (1-{h}_{w}({x}_{i})}{{h}_{w}({x}_{i})} -(1-{y}_{i}) frac{{h}_{w}({x}_{i}) cdot (1-{h}_{w}({x}_{i}))}{(1-{h}_{w}({x}_{i}))}) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}}
=−m1i=1∑m(yihw(xi)hw(xi)⋅(1−hw(xi)−(1−yi)(1−hw(xi))hw(xi)⋅(1−hw(xi)))wj∂zi
=
−
1
m
∑
i
=
1
m
(
y
i
−
h
w
(
x
i
)
)
∂
z
i
w
j
=- frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({y}_{i}-{h}_{w}({x}_{i})) frac{partial {z}_{i}}{{w}_{j}}
=−m1i=1∑m(yi−hw(xi))wj∂zi
=
1
m
∑
i
=
1
m
(
h
w
(
x
i
)
−
y
i
)
x
i
j
=frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{ij}
=m1i=1∑m(hw(xi)−yi)xij
- 其中， h w ( x i ) − y i {h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i} hw(xi)−yi 可解释为模型预测 x i {x}_{i} xi 为正例的概率与其实际类别之间的 误差 。
由此可推出梯度
∇
J
(
w
)
nabla J(w)
∇J(w) 计算公式为
∇
J
(
w
)
=
1
m
∑
i
=
1
m
(
h
w
(
x
i
)
−
y
i
)
x
i
nabla J(w)=frac{1}{m} displaystyle sum^{m}_{i=1}({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{i}
∇J(w)=m1i=1∑m(hw(xi)−yi)xi
对于随机梯度下降，即 m = 1 时，相应梯度计算公式为
∇
J
(
w
)
=
(
h
w
(
x
i
)
−
y
i
)
x
i
nabla J(w)=({h}_{w}({x}_{i})-{y}_{i}){x}_{i}
∇J(w)=(hw(xi)−yi)xi
设学习率为
η
eta
η ，模型参数 w 的更新公式为
w
=
w
−
η
∇
J
(
w
)
w = w - eta nabla J(w)
w=w−η ∇J(w)
既然我们已经了解了 Logistic 模型的数学原理，那现在我们就使用 Python 实现吧！
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
class LogisticRegression:
def __init__(self, w_init=0.0, steps=10000, eta=0.01):
# 训练迭代次数
self.steps = steps
# 学习率
self.eta = eta
# 初始化模型参数
self.w_init = w_init
self.w = None
def __z(self, X):
'''
计算 x 与 w 的内积
'''
# 矩阵点积：[1*n] ⋅ [n*m] = [1*m]
return np.dot(self.w, X.T)
def __sigmoid(self, z):
'''
Sigmoid 函数
'''
return 1. / (1. + np.exp(-z))
def __predict_proba(self, X):
'''
预测为正例的概率
'''
# 求 z
z = self.__z(X)
# 利用 Sigmoid 函数求预测为 '分类1' 的概率，>=0.5 的为 '分类1' ，否则为 '分类0'
return self.__sigmoid(z)
def __loss(self, y, y_pred):
'''
求损失
'''
# 数学公式见上述
return -np.sum(y * np.log(y_pred) + (1-y)* np.log(1-y_pred)) / y.size
def __preprocess(self, X):
'''
预处理 x，x0 = 1
'''
m, n = X.shape
# 初始化新矩阵
X_ = np.zeros((m, n+1))
# x0 = 1
X_[:, 0] = 1
X_[:, 1:] = X
return X_
def __gradient(self, X, y, y_pred):
'''
求梯度
'''
# 矩阵乘法：[1*m] * [m*n] = [1*n]
return np.matmul(y_pred-y, X) / y.size
def train(self, X, y):
# 预处理 X
X = self.__preprocess(X)
# 生成 w 矩阵
m, n = X.shape
self.w = np.full((1, n), self.w_init)
# 创建 step-loss Dataframe，用于绘图
plot_loss = pd.Dataframe(columns=['step', 'loss'])
for step in range(1, self.steps+1):
# 求 y_hat
y_pred = self.__predict_proba(X)
# 求损失，存入 Dataframe 中，并输出
loss = self.__loss(y, y_pred)
plot_loss.loc[plot_loss.shape[0]+1] = [step, loss]
print('rEpoch: {} {:>.2f}%: [{}{}] loss={:>.2f}'.format(
step, step / self.steps * 100,
'■' * int(step / self.steps * 20),
'□' * (20 - int(step/self.steps*20)),
loss
), end='')
# 求梯度
grad = self.__gradient(X, y, y_pred)
# 更新权重 w
self.w -= self.eta * grad
# 绘制 step-loss 折线图
plt.plot(plot_loss['step'], plot_loss['loss'])
plt.xlabel('step')
plt.ylabel('loss')
plt.show()
def predict(self, X):
# 预处理 X
X = self.__preprocess(X)
# 求 y_hat
y_pred = self.__predict_proba(X)
# 转标签
return np.where(y_pred >= 0.5, 1, 0)
测试一下，训练集就取 x ∈ [ 0 , 10 ] x in [0, 10] x∈[0,10]，0.1 为步长的 等差数列， y ∈ 0 , 1 y in {0, 1} y∈0,1 的二分类数组，将 x ≥ 5 x geq 5 x≥5 的数据对应的标签设置为 1 ，其余为 0，弄好以后画个图瞅瞅。代码如下：
train_x = np.arange(0, 11, 0.1).reshape(-1, 1) train_y = np.where(train_x > 5, 1, 0).reshape(1, -1) # x = [m*n] = [110*1]，即有 110 个 x，每个 x 的维度为 1 # y = [1*m] = [1*110]，即有 110 个 y # 显示网格线 plt.grid() plt.plot(train_x, train_y[0]) plt.show()
折线图如下
下边就用我们的模型试一试效果
model = LogisticRegression() model.train(train_x, train_y)
可以看到，损失是逐渐 下降 的。
让我们来预测一波试试。
In[]: model.predict(np.array([[2], [3], [4], [5], [6]])) ------------------------------------------------------------- Out[]: array([[0, 0, 0, 1, 1]])
看起来结果还是不错的。
利用 sklearn 实现不得不佩服强大的 Python 生态，有好多大佬们写好的库，我们直接调用其中的 API 即可，sklearn 就是 Python 机器学习 一个常用的库，用它实现 Logistic 回归，代码如下（数据还是上边的数据）：
In[]: from sklearn.linear_model import LogisticRegression lr = LogisticRegression() lr.fit(train_x, train_y.reshape(-1, 1)) lr.predict(np.array([[2], [3], [4], [5], [6]])) --------------------------------------------------------------- Out[]: array([0, 0, 0, 1, 1])
成功咯！！！
这可不能忘
[1]刘硕.Python机器学习算法原理、实现与案例[M].北京:清华大学出版社,2019
结尾
有想要一起学习 python 的小伙伴可以扫码进群哦。
以上就是我要分享的内容，因为学识尚浅，会有不足，还请各位大佬指正。
有什么问题也可在评论区留言。
