LeetCode 312. 戳气球（区间DP）

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167
示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 500
0 <= nums[i] <= 100

思路：
定义 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]为戳爆区间 [ i + 1 , j − 1 ] [i+1,j-1] [i+1,j−1]气球能得到的最大结果。但是这里由于有边界问题，所以头尾插入两个虚拟节点，这样的话就不需要考虑越界的情况。

转移就是 d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i ] [ k ] + d p [ k ] [ j ] + n u m s [ i ] ∗ n u m s [ j ] ∗ n u m s [ k ] ) ; dp[i][j] = max(dp[i][k]+dp[k][j]+nums[i]*nums[j]*nums[k]); dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k][j]+nums[i]∗nums[j]∗nums[k]);

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector& nums) {
        vectorvec;
        vec.push_back(1);
        for(int i = 0;i < nums.size();i++) {
            vec.push_back(nums[i]);
        }
        vec.push_back(1);
        int n = vec.size();
        vector>f(n, vector(n, 0));
        for(int len = 3;len <= n;len++) {
            for(int i = 0;i < n;i++) {
                int j = i + len - 1;
                if(j >= n) {
                    continue;
                }
                for(int k = i + 1;k < j;k++) {
                    f[i][j] = max(f[i][j], vec[i] * vec[j] * vec[k] + f[i][k] + f[k][j]);
                }
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
};