- 函数的可积条件
- 函数可积的必要条件
- 函数可积的充要条件
- 参考文献
quad 在给出函数可积的充要条件之前，先来看函数可积的一个必要条件。
定理 1（可积的必要条件）：若函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上必定有界。
证明：反证法。
quad
假定函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上无界，则不论对
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 作何种划分，总存在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 的某个小区间
[
x
k
−
1
,
x
k
]
[x_{k-1},x_k]
[xk−1,xk]（
1
≤
k
≤
n
1 le k le n
1≤k≤n） ，使得
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
x
k
−
1
,
x
k
]
[x_{k-1},x_k]
[xk−1,xk] 上无界。
quad
在
i
≠
k
i ne k
i=k 的各个小区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
[x_{i-1},x_{i}]
[xi−1,xi] 上，任取一点
ξ
i
xi_i
ξi，并记
G
=
∣
∑
i
≠
k
f
(
ξ
i
)
⋅
Δ
x
i
∣
,
G=left|sum_{i ne k}f(xi_i)cdot Delta x_iright|,
G=∣∣∣∣∣∣i=k∑f(ξi)⋅Δxi∣∣∣∣∣∣,
由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
x
k
−
1
,
x
k
]
[x_{k-1},x_k]
[xk−1,xk] 上无界，因此对于任意给定的
M
>
0
M>0
M>0，存在点
ξ
k
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
xi_k in[x_{k-1},x_k]
ξk∈[xk−1,xk]，使得
∣
f
(
ξ
k
)
∣
>
G
+
M
Δ
x
k
.
left|f(xi_k)right|>frac{G+M}{Delta x_k}.
∣f(ξk)∣>ΔxkG+M.
quad
利用三角不等式，可得
∣
f
(
ξ
k
)
⋅
Δ
x
k
∣
−
∣
∑
i
≠
k
f
(
ξ
i
)
⋅
Δ
x
i
∣
≤
∣
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
∣
left|f(xi_k) cdot Delta x_kright|-left|sum_{i ne k}f(xi_i)cdot Delta x_iright|le left|sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_{i}right|
∣f(ξk)⋅Δxk∣−∣∣∣∣∣∣i=k∑f(ξi)⋅Δxi∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣∣∣∣∣
从而
∣
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
∣
≥
G
+
M
Δ
x
k
⋅
Δ
x
k
−
G
=
M
.
left|sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_{i}right| ge frac{G+M}{Delta x_k} cdot Delta x_k-G=M.
∣∣∣∣∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣∣∣∣∣≥ΔxkG+M⋅Δxk−G=M.
也就是说，无论
M
M
M 取得有多大，总存在某个划分
P
P
P 和 点集
{
ξ
i
∣
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{xi_i|i=1,2,cdots,n}
{ξi∣i=1,2,⋯,n} 的某种取法，使得积分和大于
M
M
M，从而与
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上可积产生矛盾。因此，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上必定有界。
证毕
思考：既然区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的可积函数一定有界，那么，有界函数一定在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积吗？
答：不一定。
【例题】：Dirichlet 函数
D
(
x
)
=
{
1
,
x
为有理数
,
0
,
x
为无理数
D(x)= begin{cases} 1,quad xtext{为有理数}, \ 0,quad x text{为无理数} end{cases}
D(x)={1,x为有理数,0,x为无理数
在区间
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1] 上有界，但不可积。
quad 既然，区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的可积函数都是有界的，而有界的函数又不一定可积，那么什么情况下，区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的有界函数可积呢？
quad 下面来讨论函数可积的充要条件。
Darboux 和：
quad
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的有界函数。由确界存在定理知，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上必有上、下确界。记：
M
=
sup
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
,
m
=
sup
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
，
M=underset{x in [a,b]}{sup} f(x),quad m= underset{x in [a,b]}{sup}f(x)，
M=x∈[a,b]supf(x),m=x∈[a,b]supf(x)，
则
m
≤
f
(
x
)
≤
M
,
x
∈
[
a
,
b
]
.
m le f(x) le M,quad x in [a,b].
m≤f(x)≤M,x∈[a,b].
quad
在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上任意取分点
{
x
i
}
i
=
0
n
{x_i}_{i=0}^{n}
{xi}i=0n，作成一种划分
P
:
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
n
=
b
,
P:a=x_0
quad
记
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在小区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
[x_{i-1},x_i]
[xi−1,xi] 上的上、下确界分别为
M
i
=
sup
x
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,
m
i
=
inf
x
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
f
(
x
)
,
M_i=underset{x in [x_{i-1},x_i]}{sup} f(x),quad m_i=underset{x in [x_{i-1},x_i]}{inf} f(x),
Mi=x∈[xi−1,xi]supf(x),mi=x∈[xi−1,xi]inff(x),
显然，它们与点集
{
ξ
i
∣
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{xi_imid i=1,2,cdots,n}
{ξi∣i=1,2,⋯,n} 的取法无关，但与划分
P
P
P 有关。
quad
对于确定的划分
P
P
P，定义和式
S
ˉ
(
P
)
=
∑
i
=
1
n
M
i
⋅
Δ
x
i
,
S
‾
(
P
)
=
∑
i
=
1
n
m
i
⋅
Δ
x
i
,
bar S(P)=sum_{i=1}^{n}M_icdot Delta x_i,quad underline{S}(P)=sum_{i=1}^{n}m_icdot Delta x_i,
Sˉ(P)=i=1∑nMi⋅Δxi,S(P)=i=1∑nmi⋅Δxi,
则分别称
S
ˉ
(
P
)
bar S(P)
Sˉ(P) 与
S
‾
(
P
)
underline {S}(P)
S(P) 为相应于划分
P
P
P 的 Darboux 大和（或 Darboux 上和）与 Darboux 小和（或 Darboux 下和）。
quad Darboux 大和 与 Darboux 小和 统称为 Darboux 和。
quad
显然，对于同一个划分
P
P
P，成立
S
‾
(
P
)
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
S
ˉ
(
P
)
.
underline{S}(P) le sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Delta x_i le bar S(P).
S(P)≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤Sˉ(P).
quad 为方便讨论，记 S ˉ bar S Sˉ 是一切可能的划分所得到的 Darboux 大和 的集合， S ‾ underline{S} S 是一切可能的划分得到的 Darboux 小和 的集合。
quad 下面，来分析 Darboux 和 的性质，进而引出函数可积的充分必要条件。
引理 1（性质一）：设
P
P
P 是
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上给定的一个划分，对于任意的点集
{
ξ
i
∣
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{xi_imid i=1,2,cdots,n}
{ξi∣i=1,2,⋯,n}，Darboux 大和是所有积分和的上确界，Darboux 小和是所有积分和的下确界。
证明：
引理 2（性质二）：若在原有划分 P P P 中加入分点形成新的划分，则 Darboux 大和不增，Darboux 小和不减。
引理 3（性质三）：设
P
1
P_1
P1、
P
2
P_2
P2 是
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 的任意两个划分，若将
P
1
P_1
P1、
P
2
P_2
P2 的对应分点合并，形成一个新的划分
P
P
P，则
S
ˉ
(
P
)
≤
S
ˉ
(
P
1
)
,
S
ˉ
(
P
)
≤
S
ˉ
(
P
2
)
，
S
‾
(
P
)
≥
S
‾
(
P
1
)
,
S
‾
(
P
)
≥
S
‾
(
P
2
)
.
bar S(P) le bar S(P_1),bar S(P) le bar S(P_2)，quadunderline{S}(P) ge underline{S}(P_1), underline{S}(P) ge underline{S}(P_2).
Sˉ(P)≤Sˉ(P1),Sˉ(P)≤Sˉ(P2)，S(P)≥S(P1),S(P)≥S(P2).
引理 4（性质四）：设
P
1
P_1
P1、
P
2
P_2
P2 是
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 的任意两个划分，则恒有
quad
由上述讨论知，
S
ˉ
bar S
Sˉ 与
S
‾
underline{S}
S 都是有界集合，由确界定理，均有上、下确界。记 [1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
m
(
b
−
a
)
<
S
‾
(
P
1
)
≤
S
ˉ
(
P
2
)
≤
M
(
b
−
a
)
.
m(b-a)
L
=
inf
{
S
ˉ
(
P
)
∣
S
ˉ
(
P
)
∈
S
ˉ
}
,
l
=
sup
{
S
‾
(
P
)
∣
S
‾
(
P
)
∈
S
‾
}
.
L=inf{bar S(P)mid bar S(P) in bar S},quad l=sup {underline {S}(P)mid underline {S}(P) in underline S}.
L=inf{Sˉ(P)∣Sˉ(P)∈Sˉ},l=sup{S(P)∣S(P)∈S}.
通常，称
L
L
L 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的 上积分，称
l
l
l 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的 下积分。
参考文献
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 谢惠民，恢自求，易法槐等. 数学分析习题课讲义 上册. 北京：高等教育出版社. 2003.7.10.
[4] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程 上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
[5] B. A. 卓里奇. 数学分析 第一卷. 第7版. 北京：高等教育出版社.2019.2.
