C/C++化繁为简的分治法

• 算法解释
• 241.为运算表达式设计优先级
• 932.漂亮数组
• 312.戳气球

顾名思义，分治问题由“分”（divide）和“治”（conquer）两部分组成，通过把原问题分为子问题，再将子问题进行处理合并，从而实现对原问题的求解。我们在十大排序算法中的归并排序就是典型的分治问题，其中“分”即为把大数组平均分成两个小数组，通过递归实现，最终我们会得到多个长度为 1 的子数组;“治”即为把已经排好序的两个小数组合成为一个排好序的大数组，从长度为 1 的子数组开始，最终合成一个大数组。

我们也使用数学表达式来表示这个过程。定义 T(n) 表示处理一个长度为 n 的数组的时间复杂度，则归并排序的时间复杂度递推公式为 T(n) = 2T(n/2) + O(n)。其中 2T(n/2) 表示我们分成了两个长度减半的子问题，O(n) 则为合并两个长度为 n/2 数组的时间复杂度。

那么怎么利用这个递推公式得到最终的时间复杂度呢？这里我们可以利用著名的主定理
（Master theorem）求解：

通过主定理我们可以知道，归并排序属于第二种情况，且时间复杂度为 O(n log n)。其他的分治问题也可以通过主定理求得时间复杂度。

另外，自上而下的分治可以和 memoization 结合，避免重复遍历相同的子问题。如果方便推导，也可以换用自下而上的动态规划方法求解。

题目描述

给定一个只包含加、减和乘法的数学表达式，求通过加括号可以得到多少种不同的结果。

输入输出样例

输入: "2-1-1"
输出: [0, 2]
解释: 
((2-1)-1) = 0 
(2-(1-1)) = 2

输入: "2*3-4*5"
输出: [-34, -14, -10, -10, 10]
解释: 
(2*(3-(4*5))) = -34 
((2*3)-(4*5)) = -14 
((2*(3-4))*5) = -10 
(2*((3-4)*5)) = -10 
(((2*3)-4)*5) = 10

题解

利用分治思想，我们可以把加括号转化为，对于每个运算符号，先执行处理两侧的数学表达式，再处理此运算符号。注意边界情况，即字符串内无运算符号，只有数字。

其实，对于每一层就是一个嵌套括号，如图所示

代码

class Solution {
public:
    vector diffWaysToCompute(string expression) {
        vector ways;
        for (int i = 0; i < expression.length(); i++) {
            char c = expression[i];
            if (c == '+' || c == '-' || c == '*') {
            	// 运算符左边的运算结果
                vector left = diffWaysToCompute(expression.substr(0, i));
                // 运算符右边的运算结果
                vector right = diffWaysToCompute(expression.substr(i + 1));
                for (const int & l: left) {
                    for (const int & r: right) {
                        switch (c) {
                            case '+': ways.push_back(l + r); break;
                            case '-' : ways.push_back(l - r); break;
                            case '*': ways.push_back(l * r); break;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        // count为空说明当前无运算符，只是单独的数字，直接放入count中
        if (ways.empty()) ways.push_back(stoi(expression));
        return ways;
    }
};

题目描述

对于某些固定的 N，如果数组 A 是整数 1, 2, …, N 组成的排列，使得：

对于每个 i < j，都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]。

那么数组 A 是漂亮数组。

给定 N，返回任意漂亮数组 A（保证存在一个）。

输入输出样例

输入：4
输出：[2,1,4,3]

代码

class Solution {
public:
    unordered_map > mp;
    vector beautifulArray(int N) {
        return f(N);
    }
    vector f(int N) {
        vector ans(N, 0);
        int t = 0;
        if (mp.find(N) != mp.end()) {
            return mp[N];
        }
        if (N != 1) {
            for (auto x : f((N+1)/2)){
                ans[t++]= 2 * x - 1;
            } 
            for (auto x : f(N/2)){
                ans[t++] =  2 * x;
            }
        }else {
            ans[0] = 1;
        }
        mp[N] = ans;
        return ans;
    }
};