Leetcode 684.冗余连接（中等）

树可以看成是一个连通且 无环 的 无向 图。

给定往一棵 n n n 个节点 (节点值 1～ n n n) 的树中添加一条边后的图。添加的边的两个顶点包含在 1 到 n n n 中间，且这条附加的边不属于树中已存在的边。图的信息记录于长度为 n n n 的二维数组 edges ， e d g e s [ i ] = [ a i , b i ] edges[i] = [a_i, b_i] edges[i]=[ai​,bi​] 表示图中在 a i a_i ai​ 和 b i b_i bi​ 之间存在一条边。

请找出一条可以删去的边，删除后可使得剩余部分是一个有着 n n n 个节点的树。如果有多个答案，则返回数组 edges 中最后出现的边。

示例 1：

输入: edges = [[1,2], [1,3], [2,3]]
输出: [2,3]

示例 2：

输入: edges = [[1,2], [2,3], [3,4], [1,4], [1,5]]
输出: [1,4]

提示:

• n = = e d g e s . l e n g t h n == edges.length n==edges.length
• 3 < = n < = 1000 3 <= n <= 1000 3<=n<=1000
• e d g e s [ i ] . l e n g t h = = 2 edges[i].length == 2 edges[i].length==2
• 1 < = a i < b i < = e d g e s . l e n g t h 1 <= ai < bi <= edges.length 1<=ai
• a i ! = b i ai != bi ai!=bi
• e d g e s edges edges 中无重复元素
• 给定的图是连通的

【思路】

遍历 edges 数组，判断数组中的每一对元素是否相连，如果不相连则将其合并，若相连则记录下当前的边。

【代码】

class Solution {
private:
    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            parent.push_back(i);
    }

    int find(int x) {
        return parent[x] == x ? x : parent[x] = find(parent[x]);
    }
    
    bool isConnected(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }

    void merge(int p, int q) {
        int pp = find(p), pq = find(q);
        if (pp != pq) 
            parent[pp] = pq;
    }

    vector parent;
public:
    vector findRedundantConnection(vector>& edges) {
        int n = edges.size();
        init(n + 1);

        vector ans;

        for (auto &edge : edges) {
            int x = edge[0];
            int y = edge[1];
            if (!isConnected(x, y)) merge(x, y);
            else ans = edge;
        }
        return ans;
    }
};

【复杂度分析】

• 时间复杂度： O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)，其中 N N N 是图中的节点个数。需要遍历图中的 N N N 条边，对于每条边，需要对两个节点查找祖先，如果两个节点的祖先不同则需要进行合并，需要进行 2 次查找和最多 1 次合并。一共需要进行 2 N 2N 2N 次查找和最多 N N N 次合并，因此总时间复杂度是 O ( 2 N l o g N ) = O ( N l o g N ) O(2NlogN)=O(NlogN) O(2NlogN)=O(NlogN)。这里的并查集使用了路径压缩，但是没有使用按秩合并，最坏情况下的时间复杂度是 O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)，平均情况下的时间复杂度依然是 O ( N α ( N ) ) O(Nα(N)) O(Nα(N))，其中 α alpha α 为阿克曼函数的反函数， α ( N ) alpha (N) α(N) 可以认为是一个很小的常数。

• 空间复杂度： O ( N ) O(N) O(N)，其中 N N N 是图中的节点个数。使用数组 p a r e n t parent parent 记录每个节点的祖先。