CINTA作业三：同余、模指数、费尔马小定理、欧拉定理

1、实现求乘法逆元的函数，给定a和m，求a模m的乘法逆元，无解时请给出无解提示，并且只返回正整数。进而给出求解同余方程（ax = b mod m）的函数，即给定a，b，m，输出满足方程的x，无解给出无解提示。

2、实现模指数运算的函数，给定x、y和m，求x的y次方模m。

3、设p = 23和a = 5，使用费尔马小定理计算a^{2020} mod p?

4、使用欧拉定理计算2^{100000} mod 55。

5、手动计算7^{1000}的最后两个数位等于什么？

1、

#include 
using namespace std;
int fun(int a, int m)
{
	//判无解，是否互素
	int x = a; int y = m;
	if (a > m)
	{
		x = m; y = a;//x比y小
	}
	for (int i = 2; i <= x; i++)
	{
		if (y % i == 0)
		{
			cout << "无解";
			return 0;
		}
	}

	//有解
	int k;
	for (int i = 2;; i++)
	{
		if (i* a %m==1)
		{
			k = i;
			return k;
		}
	}

}

int f(int a, int b, int m)
{
	int x;
	int n = fun(a,m);
	x = a * b;
	return x;
}

2.

int fun(int x, int y,int m)
{
	if (y < m)
	{		
		for (int i = 1; i < y; i++)
		{
			x = x * x;
		}
		return x % m;
	}
	else
	{
		for (int i = 1; i < y%(m-1); i++)
		{
			x = x * x;
		}
		return x % m;
	}
}

3.

5^(2020) = 5^(22*91+18) = 5^(18) = 6 (mod 23)

4.因为ϕ(55)=40

欧拉定理为：a ϕ ( n ) ≡ 1( mod n )，所以有 2 ϕ (55) ≡ 1(mod55)，即2^(40)≡ 1(mod55)

有2 ^ (100000) ≡ 2^ (40*2500) ≡ 1 (mod55)

5.

该题转化为求7^(1000) mod 100的值。

因为 ϕ(100)=40

所以7 ^ (40) ≡ 1 (mod100)

而 7^(1000)=7^(40*25)

即  7^(1000) ≡ 1 (mod100)

最后两个位数为 01