AcWing 7. 混合背包问题（二进制优化的多重背包）

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；

输出一个整数，表示最大价值。

0 0 −1≤si≤1000

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

8

可以把01背包和完全背包转化成多重背包，01背包是件数为1的多重背包，完全背包的件数就是他能到达的最大量，即V/v[i]，总容量除以他所占的体积，那么这个就转化成了一个多重背包的问题，咱们可以看到数据量是1000，那么朴素版的多重背包是O(NNN)的，那么1e9的话一定会超时，所以咱们可以考虑到优化，那么就是二进制优化，多重背包要先搞清楚的一个问题就是咱们要枚举到所有的数量，就是0~s[i]都是可选的，那么现在咱们将s[i]个物品分成几部分，每部分的大小是1,2,4,8,…,2^k,c,他们的和是s[i]，那么把他们每部分看成一个整体，首先第一部分就能表示出0-1,然后第一部分加上第二部分就能表示出2-3，以此类推，咱们通过对这些整体的取舍就能表示出所有的状态，是不是特别神奇，然后把他转化成01背包就行，这样的复杂度是O(NNlog(N))，是完全能过的，下面请看代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 25000;
int v[N],w[N],s[N],a[N],b[N];
int f[N];
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&s[i]);
	int cnt = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(s[i] == -1) s[i] = 1;
		else if(s[i] == 0) s[i] = m/a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k = 1;
		while(k <= s[i]){
			cnt++;
			v[cnt] = a[i] * k;
			w[cnt] = b[i] * k;
			s[i] -= k;
			k *= 2;
		}
		if(s[i] > 0){
			cnt++;
			v[cnt] = a[i] * s[i];
			w[cnt] = b[i] * s[i];
		}
	}
	n = cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
			f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
	}
	cout<