时间复杂度讲解

• 自顶向下编程
• 编码风格

理论上来讲，时间复杂度可以通过非常严谨的数学公式去证明 https://www.zhihu.com/question/21387264

在这里我们主要就讲一下，怎样通过观察程序代码去判断算法的时间复杂度。

**算法的表示方法：**Big O notation

• O(1)：常数复杂度
• O(logn)：对数复杂度
• O(n)：线性时间复杂度
• O(n²)：平方
• O(n³)：立方
• O(2ⁿ)：指数
• O(n!)：阶乘

程序代码中的最基础的代码，根据n的不同情况它会运行的次数，取时间复杂度最大的代码片作为程序的时间复杂度。

• O(1) 常数级时间复杂度

int n = 1;
System.out.println(n);

这种情况n只调用了1次，所以是常数级别。时间复杂度为O(1)，值得注意的是，O(1)代表的含义是常数级别的意思，而不是说上面程序如果被调用了3次就是O(3)。

• O(n) 线性时间复杂度

for (int i = 0; i <= n; i++) {
    System.out:println(i);
}

一层的for循环就是O(n)的时间复杂度，里面的最基础的代码System.out.println(i)执行了n遍。当然也不是说 int i = 2的时候就是O(n - 2)。这种通通都叫O(n)

注意：曾经有个同学问我，假设上面的n的值为3，那System.out.println(i)执行了3遍，你管它叫做O(n)，那当我这么写，时间复杂度为什么还是O(1) ?

int n = 0;
System.out.println(n++);
System.out.println(n++);
System.out.println(n++);

这种代码的时间复杂度就是O(1)，因为它是3行代码，各自执行了1次；而上面的代码时一行代码执行了3次。注意概念，是最基础的代码执行的次数。

• O(n²) 平方级时间复杂度

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        System.out:println(j);
    }
} 

平方级就是 n * n

**思考：**如果两个循环不是嵌套的，而是并列的，此时的时间复杂度是多少？

for (int i = 0; i <= n; i++) {
    System.out:println(i);
}

for (int i = 0; i <= n; i++) {
    System.out:println(i);
}

答案是O(n)，你可能会说这是O(2n)，我们不关心前面的常数，就说它是O(n)即可。

• O(n³) 同理就是3个嵌套循环
• O(logn)

for (int i = 1; i < n; i *= 2) {
    System.out.println(i);
}

• O(kⁿ)

int fib(int n) {
    return n <= 2 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2); 
}

为什么这个递归是指数级的呢？

当n <= 2时，它可以一直分裂下去，这就是指数分裂。

方法一：直接暴力求和

public int sum(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    	sum += i;
	}
    return sum;
}

时间复杂度分析：O(n)

方法二：求和公式 sum = n(n+1)/2

public int sum(int n) {
    return n * (n + 1) / 2;
}

时间复杂度：O(1)

1. 二叉树的遍历 - 前序、中序、后序：时间复杂度是多少？

二叉树的遍历中，每个节点有且仅有访问一次，所以是O(n)

2. 图的遍历：时间复杂度是多少？

图的遍历中，每个节点有且仅有访问一次，所以是O(n)

3. 搜索算法：DFS(深度优先)、BFS(广度优先)时间复杂度是多少？

同理也是O(n)

4. 二分查找法：时间复杂度是多少？

每次都取中间的值，i /= 2，所以是O(logn)

二分查找法

public int binarySearch(int[] array, int target) {
    int left = 0, right = array.length - 1;
    while (left <= right) {
        int middle = (left + right) >>> 1;	
        if (array[middle] == target) return middle;
        else if (array[middle] < target) left = middle + 1;
        else right = middle - 1;
    }
    return -1;
}