圆周率十分重要，不仅仅是在数学理论上，即便在千年前的古代，工程上的需求，也迫切需要我们知道圆周率的尽量精确的数值。
求圆周率，有很多种方法，级数法就是简便易行的方法之一。
很多大牛已经把级数公式写好，并证明清楚，我们只要按公式求值就好了。
暂举几例：
π
2
6
=
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
.
.
.
frac{pi^2}{6} = frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + ...
6π2=121+221+321+...
π
4
=
1
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
.
.
.
frac{pi}{4}=frac{1}{1}-frac{1}{3}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+...
4π=11−31+51−71+...
π
=
3
+
4
2
×
3
×
4
−
4
4
×
5
×
6
+
4
6
×
7
×
8
−
.
.
.
pi = 3 + frac{4}{2times3times4} -frac{4}{4times5times6}+frac{4}{6times7times8}-...
π=3+2×3×44−4×5×64+6×7×84−...
请编程求 π pi π 的值。
分析与提示对每个公式单独写一个程序有点浪费代码，能不能做一个类似级数框架的东东，把这个方法的共性表达出来呢？
这些算法，无外乎是： 初始值 + 若干的小项，求和，最后再处理一下，得出
π
pi
π 的值。
import math
a1 = 0
def b1(n):
return 1/(n*n)
def c1(x):
return math.sqrt(x*6)
a2 = 0
def b2(n):
return (-1)**(n+1)/(2*n-1)
def c2(x):
return 4*x
a3 = 3
def b3(n):
return (-1)**(n+1)*4/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2))
def c3(x):
return x
# a: 初始值
# b: 通项公式（函数）
# c: 后处理（函数）
# n: 累加项数
def f(a,b,c,n):
z = a
for i in range(n):
z += b(i+1)
return c(z)
####
print(f(a1,b1,c1,10000))
print(f(a2,b2,c2,10000))
print(f(a3,b3,c3,100))
2. 割圆法求圆周率
题目
我国古代数学家，发明了用割圆法求
π
pi
π 值，其原理类似于近代的微积分。
具体做法：用圆内接正多边形的周长来近似地代替圆周。
多边形的边数越多，这种代替就越精确。
我们从正六边形开始，不断把边数加倍，很快就能获得高精度的
π
pi
π 值
本题目的目标是，通过这种方法，把圆周率精确到小数点后6位。
计算的关键是，从当前的多边形如何计算加倍后的多边形的边长。
其实，只需要勾股定理就能搞定！
其原理如图：
h
=
1
−
(
a
2
)
2
h = sqrt{1-left(frac{a}{2}right)^2}
h=1−(2a)2
a
′
=
(
a
2
)
2
+
(
1
−
h
)
2
a' = sqrt{left(frac{a}{2}right)^2 + (1-h)^2}
a′=(2a)2+(1−h)2
import math
#n: 当前的边数
#a: 当前的边长
def f(n,a):
h = math.sqrt(1-(a/2)**2)
a1 = math.sqrt((a/2)**2 + (1-h)**2)
return (n*2, a1)
######
a = 1
n = 6
for i in range(10):
n, a = f(n, a)
print(n*a/2)
print(math.pi)
3. 面积概率法求圆周率
题目
如下图，边长为 1 的正方形内含有 1/4 个圆，显然，圆的半径为 1。
如果在正方形内随机产生点，落入圆内的概率 = 1/4 圆面积
请用程序产生大量的随机点，通过统计落入圆内的数目，估算 1/4 圆的面积
据此，推算出
π
pi
π 值。
概率法很难获得高精度，而且每次运行结果都不一样。
但，概率法很重要，对于一些复杂的问题，如果没有办法做理论分析（比如复杂函数的积分），概率解有时也是很有用的。
判断一个点是否在圆内，只要看它到圆心的距离是否小于 1
import random
# 随机产生散点
# 判断是否落在 1/4 圆内
def f():
x, y = random.random(), random.random()
return x * x + y * y < 1
# n 次随机试验，求 pi 值
def pai(n):
m = 0 # 落在圆内的次数
for i in range(n):
if f():
m += 1
return m / n * 4
#############
print(pai(1000 * 1000))
其它的题目懒得贴了，自己下载吧：
《2021年新版-编程基础训练32题-附提示和答案》
链接: https://pan.baidu.com/s/1ZubWEUab1aCxEVWjBaRCDQ
提取码: aeha
