【知识归纳】高等数学 ＞ 第一章 函数与极限 ＞ 第三节 函数的极限

• 1. 函数极限的概念
• 2. 函数极限的定义
• • 2.1. 自变量趋于有限值时函数的极限
  • 2.2. 自变量趋于无穷大时函数的极限
• 3. 函数极限的性质

当自变量的某个变化过程中
如果对应的函数值无限接近于某个确定的数
那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0​的某一去心邻域内有定义
如果存在常数 A A A，对于任意给定的正数 ε varepsilon ε（不论它多么小），总存在正数 δ delta δ，使得当 x x x满足不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0| 那么常数 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0​时的极限
记作
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( 当 x → x 0 ) lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 时 ， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε lim_{xrightarrow x_0}f(x)=A或f(x)rightarrow A(当xrightarrow x_0)\ lim_{xrightarrow x_0}f(x)=AlrArr\forall varepsilon>0,exist delta>0,当0<|x-x_0|0,∃δ>0,当0<∣x−x0​∣<δ时，有∣f(x)−A∣<ε

• 单侧极限
  如果 x x x仅从 x 0 x_0 x0​的左侧趋于 x 0 x_0 x0​，此时 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0| 那么 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0​时的左极限，记作 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A 或 f ( x 0 − ) = A lim_{xrightarrow x_0^-}f(x)=A或f(x_0^-)=A x→x0−​lim​f(x)=A或f(x0−​)=A
  如果 x x x仅从 x 0 x_0 x0​的右侧趋于 x 0 x_0 x0​，此时 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0| 那么 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0​时的右极限，记作 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A 或 f ( x 0 + ) = A lim_{xrightarrow x_0^+}f(x)=A或f(x_0^+)=A x→x0+​lim​f(x)=A或f(x0+​)=A
  左极限和右极限统称为单侧极限
  • 函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0​时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等

设函数 f ( x ) f(x) f(x)当 ∣ x ∣ |x| ∣x∣大于某一正数时有定义
如果存在常数 A A A，对于任意给定的正数 ε varepsilon ε（不论它多么小），总存在正数 X X X，使得当 x x x满足不等式 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X时，对应的函数值 f ( x ) f(x) f(x)都满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A| 那么常数 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → ∞ xrightarrow infin x→∞时的极限
记作
lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( 当 x → ∞ ) lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ X > 0 , 当 ∣ x ∣ > X 时 ， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε lim_{xrightarrow infin}f(x)=A或f(x)rightarrow A(当xrightarrow infin)\ lim_{xrightarrow infin}f(x)=AlrArr\forall varepsilon>0,exist X>0,当|x|>X时，有|f(x)-A|0,∃X>0,当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<ε

• 单侧极限
  如果 x > 0 x>0 x>0且无限增大（记作 x → + ∞ xrightarrow+infin x→+∞）
  那么将 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X改为 x > X x>X x>X，就可定义 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A lim_{xrightarrow+infin}f(x)=A x→+∞lim​f(x)=A
  如果 x < 0 x<0 x<0且 ∣ x ∣ |x| ∣x∣无限增大（记作 x → − ∞ xrightarrow-infin x→−∞）
  那么将 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X改为 x < − X x<-X x<−X，就可定义 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A lim_{xrightarrow-infin}f(x)=A x→−∞lim​f(x)=A
• 几何意义
  直线 y = A y=A y=A是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)图形的水平渐近线

• 定理1（函数极限的唯一性）
  如果函数极限收敛
  那么这极限唯一
• 定理2（函数极限的局部有界性）
  如果函数极限收敛
  那么存在常数 M > 0 M>0 M>0和 δ > 0 delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|
• 定理3（函数极限的局部保号性）
  如果函数极限为 A A A，且 A > 0 A>0 A>0(或 A < 0 A<0 A<0)
  那么存在常数 δ > 0 delta>0 δ>0，使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0| 0 ( 或 f ( x ) < 0 ) f(x)>0(或f(x)<0) f(x)>0(或f(x)<0)
  • 定理 3 ′ 3' 3′
    如果函数极限为 A ( A ≠ 0 ) A(Ane0) A(A​=0)
    那么存在 x 0 x_0 x0​的某一去心邻域，当 x x x在这个去心邻域时，有 ∣ f ( x ) ∣ > ∣ A ∣ 2 |f(x)|>dfrac{|A|}{2} ∣f(x)∣>2∣A∣​
  • 推论
    如果在 x 0 x_0 x0​的某去心邻域内 f ( x ) ≥ 0 ( 或 f ( x ) ≤ 0 ) f(x)ge0(或f(x)le0) f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且函数极限为 A A A
    那么 A ≥ 0 ( 或 A ≤ 0 ) Age0(或Ale0) A≥0(或A≤0)
• 定理4（函数极限与数列极限的关系）
  如果函数 f ( x ) f(x) f(x)趋于 x 0 x_0 x0​的极限存在， { x n } {x_n} {xn​}为 f ( x ) f(x) f(x)的定义域内任一收敛于 x 0 x_0 x0​的数列，且满足 x n ≠ x 0 ( n ∈ N + ) x_nne x_0(nin N_+) xn​​=x0​(n∈N+​)
  那么相应的函数值数列 { f ( x n ) } {f(x_n)} {f(xn​)}必收敛，且极限与函数 f ( x ) f(x) f(x)趋于 x 0 x_0 x0​的极限相等