- 1. 无穷小
- 1.1. 无穷小的定义
- 1.2. 无穷小与函数极限的关系
- 2. 无穷大
- 2.1. 无穷大的定义
- 2.2. 无穷大与无穷小的关系
如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)当
x
→
x
0
xrightarrow x_0
x→x0（或
x
→
∞
xrightarrowinfin
x→∞）时的极限为零
那么称
f
(
x
)
f(x)
f(x)为当
x
→
x
0
xrightarrow x_0
x→x0（或
x
→
∞
xrightarrowinfin
x→∞）时的无穷小
- 无穷小不是很小的数，而是一种函数，当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ xrightarrowinfin x→∞）时，这个函数的绝对值小于任意给定的正数 ε varepsilon ε
在自变量的同一变化过程中，函数 f ( x ) f(x) f(x)具有极限 A A A的充分必要条件是 f ( x ) = A + α f(x)=A+alpha f(x)=A+α，其中 α alpha α是无穷小
2. 无穷大 2.1. 无穷大的定义设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的某一去心邻域内有定义（或
∣
x
∣
|x|
∣x∣大于某一正数时有定义）
如果对于任意给定的正数
M
M
M（不论它多么大），总存在正数
δ
delta
δ（或正数
X
X
X），只要
x
x
x适合不等式
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|
那么称函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)是当
x
→
x
0
xrightarrow x_0
x→x0（或
x
→
∞
xrightarrowinfin
x→∞）时的无穷大
- 按函数极限的定义来说，当
x
→
x
0
xrightarrow x_0
x→x0（或
x
→
∞
xrightarrowinfin
x→∞）时的无穷大的函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的极限是不存在的，但为了便于叙述函数这一性态，我们也说函数的极限是无穷大，并记作
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
(
或
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
)
lim_{xrightarrow x_0}f(x)=infin(或lim_{xrightarrow infin}f(x)=infin)
x→x0limf(x)=∞(或x→∞limf(x)=∞)
如果在无穷大的定义中，把 ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)|>M ∣f(x)∣>M换成 f ( x ) > M ( 或 f ( x ) < − M ) f(x)>M(或f(x)<-M) f(x)>M(或f(x)<−M)，就记作 lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ ( 或 lim x → ∞ f ( x ) = + ∞ ) lim_{xrightarrow x_0}f(x)=+infin(或lim_{xrightarrow infin}f(x)=+infin) x→x0limf(x)=+∞(或x→∞limf(x)=+∞)或 lim x → x 0 f ( x ) = − ∞ ( 或 lim x → ∞ f ( x ) = − ∞ ) lim_{xrightarrow x_0}f(x)=-infin(或lim_{xrightarrow infin}f(x)=-infin) x→x0limf(x)=−∞(或x→∞limf(x)=−∞) - 几何意义
直线 x = x 0 x=x_0 x=x0是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)图形的铅直渐近线
在自变量的同一变化过程中
如果
f
(
x
)
f(x)
f(x)为无穷大
那么
1
f
(
x
)
dfrac{1}{f(x)}
f(x)1为无穷小；
如果
f
(
x
)
f(x)
f(x)为无穷小，且
f
(
x
)
≠
0
f(x)ne0
f(x)=0
那么
1
f
(
x
)
dfrac{1}{f(x)}
f(x)1为无穷大
