①辗转相除法求最大公约数

辗转相除法又称为欧几里得算法，用于计算两个非负整数a和b的最大公约数(Greatest Common Divisor),简写为gcd，其计算的公式为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

证法1：

证明gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，不妨假设a>b,且r=a%b,且r!=0

设a=kb+r(a,k,b,r都为正整数且r!=0)

假设d是a和b的一个公约数，记作d|a，d|b，即a和b都可以被d整除

而r=a-kb，两边同时除以d有r/d=a/d-kb/d,因为d是a和b的一个公约数所以右式为整数，因此d/r也是整数，则d为r的一个公约数

因此d也是a%b的公约数(因为r是a%b)

因(a,b）和（b，a%b)公约数相等，所以最大公约数相等，所以原式得证。

证法2：(比1好理解，但是过程较长)

假设c=gcd(a,b),则存在m，n使得a=mc,b=nc;

令r=a%b,即存在k，使得r=a-kb=mc-knc;

故gcd(b,a%b)=gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)=gcd(n,m-kn)*c;

则c为b和a%b的公约数；

假设d=gcd(n,m-kn)，则存在x，y，使n=xd,m-kn=yd,故m=yd+kn=yd+kxd=(y+kx)d;

故有a=mc=(y+kx)dc,b=nc=xdc;可得gcd(a,b)=gcd((y+kx)dc,xdc)=dc;

由于gcd(a,b)=c,所以d=1；

即gcd(n,m-kn)=1;故可得gcd(b,a%b)=c;

故得证gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

int gcd(int a,int b)

{

        return a%b==0?b:gcd(b,a%b);

}

UVA11417GCD

给定n，求

输入 #1

10
100
500
0

输出 #1

67
13015
442011

import java.util.Scanner;


public class Main {
    public static int gcd(int a,int b){
        return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while(true){
            int n =scanner.nextInt();
            if(n==0)break;
            int sum = 0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=i+1;j<=n;j++){
                    sum+=gcd(i,j);
                }
            }
            System.out.println(sum);
        }
    }
}