CCF202109-2 非零段划分（100分）【序列处理】

试题编号： 202109-2
试题名称： 非零段划分
时间限制： 1.0s
内存限制： 512.0MB
问题描述：

题目描述
A1,A2,…,An是一个由 n 个自然数（非负整数）组成的数组。我们称其中 Ai,…,Aj 是一个非零段，当且仅当以下条件同时满足：
·1≤i≤j≤n；
·对于任意的整数 k，若 i≤k≤j，则 Ak＞0；
·i=1 或 Ai-1=0；
·j=n 或 Aj+1=0。
下面展示了几个简单的例子：
·A = [3, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 4, 5, 0, 2] 中的 4 个非零段依次为 [3, 1, 2]、[2]、[4, 5] 和 [2]；
·A = [2, 3, 1, 4, 5] 仅有 1 个非零段；
·A = [0, 0, 0] 则不含非零段（即非零段个数为 0）。
现在我们可以对数组 A 进行如下操作：任选一个正整数 p，然后将 A 中所有小于 p 的数都变为 0。试选取一个合适的 p，使得数组 A 中的非零段个数达到最大。若输入的 A 所含非零段数已达最大值，可取 p = 1，即不对 A 做任何修改。

输入格式
从标准输入读入数据。

输入的第一行包含一个正整数 n。

输入的第二行包含 n 个用空格分隔的自然数 A1, A2, … , An。

输出格式
输出到标准输出。

仅输出一个整数，表示对数组 A 进行操作后，其非零段个数能达到的最大值。

样例1输入
11
3 1 2 0 0 2 0 4 5 0 2
样例1输出
5
样例1解释
p = 2 时，A = [3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 4, 5, 0, 2]，5 个非零段依次为 [3]、[2]、[2]、[4, 5] 和 [2]；此时非零段个数达到最大。

样例2输入
14
5 1 20 10 10 10 10 15 10 20 1 5 10 15
样例2输出
4
样例2解释
p = 12 时，A = [0, 0, 20, 0, 0, 0, 0, 15, 0, 20, 0, 0, 0, 15]，4 个非零段依次为 [20]、[15]、[20] 和 [15]；此时非零段个数达到最大。

样例3输入
3
1 0 0
样例3输出
1
样例3解释
p = 1 时，A = [1, 0, 0]，此时仅有 1 个非零段 [1]，非零段个数达到最大。

样例4输入
3
0 0 0
样例4输出
0
样例4解释
无论 p 取何值，A 都不含有非零段，故非零段个数至多为 0。

子任务
70% 的测试数据满足 n ≤ 1000；

全部的测试数据满足 n≤5×10⁵，且数组 A 中的每一个数均不超过 10⁴。

问题链接：CCF202109-2 非零段划分
问题简述：（略）
问题分析：
　　解法一：三分法
　　给出的题解程序，当n≤1000时，采用枚举法，结果是没有问题；当n＞1000时，采用3分法求极值的方法，逻辑上是不严密，因为不是单极值问题。
　　比较一下100分程序和70程序，就可以知道，100分程序的逻辑也是不严密的。当n≤1000时也采用了3分法，只能得70分，似乎说明逻辑不够严密。
　　解法二：索引法
　　用向量数组v[]存储各种值所在位置，向量v[i]中存储i值在数组a[]中的位置。
程序说明：
　　三分法+暴力的原始解题程序来自太理陈同学的100分解题程序。这里的解题程序代码是改写过的。
　　索引法的原始解题程序来自太理李同学和钱同学的100分解题程序。这里的解题程序代码是改写过的。
参考链接：（略）
题记：（略）

100分的C++语言程序（解法二：索引法）如下：

#include 

using namespace std;

const int N = 500000;
const int M = 10000;
int a, book[N + 2];
vector v[M + 1];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d",&a);
        v[a].push_back(i);
    }

    int ans = 0;
    if (v[0].size() != n) {
        memset(book, 0, sizeof book);
        book[0] = book[n + 1] = 1;

        int last = 1;
        for (int p = 0; p <= M; p++)
            if (v[p].size() != 0) {
                int t = last;
                for (int ix = 0; ix < (int)v[p].size(); ix++) {
                    book[v[p][ix]] = 1;
                    if (book[v[p][ix] - 1] && book[v[p][ix] + 1])	t--;
                    else if (book[v[p][ix] - 1] == 0 && book[v[p][ix] + 1] == 0) t++;
                }

                ans = max(ans, max(last, t));
                last = t;
            }
    }

    printf("%dn", ans);

    return 0;
}

100分的C++语言程序（解法一：三分法，集合+三分法+枚举）如下：

#include 
#include 

using namespace std;

const int LR = 50;
const int N = 500000 + 1;
const int M = 10000 + 1;
int n, a[N], s[M];

int mycount(int p)
{
    int cnt = 0, flag = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (flag) {
            if (a[i] >= p) cnt++, flag = 0;
        } else {
            if (a[i] < p) flag = 1;
        }
    return cnt;
}

int main()
{
    int maxa = 0, ans = 0;
    memset(s, 0, sizeof s);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        maxa = max(maxa, a[i]);
        s[a[i]] = 1;
    }

    int scnt = 0;
    for (int i = 1; i <= M; i++)
        if (s[i]) s[scnt++] = i;

    int l = 0, r = scnt - 1;
    ans = max(mycount(s[l++]), mycount(s[r--]));
    while (r - l > LR) {
        int ll = l + (r - l) / 3;
        int rr = r - (r - l) / 3;
        if (mycount(s[ll]) < mycount(s[rr])) l = ll;
        else r = rr;
    }
    for(int i = l; i <= r; i++)
        ans = max(ans, mycount(s[i]));

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

100分的C++语言程序（三分法+枚举）如下：

#include 

using namespace std;


const int N = 500000 + 1;
int n, a[N];

int mycount(int p)
{
    int cnt = 0, flag = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (flag) {
            if (a[i] >= p) cnt++, flag = 0;
        } else {
            if (a[i] < p) flag = 1;
        }
    return cnt;
}

int main()
{
    int maxa = 0, ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        maxa = max(maxa, a[i]);
    }
    if (n <= 1000)
        for (int i = 1; i <= maxa; i++) ans = max(ans, mycount(i));
    else {
        int l = 1, r = maxa;
        while (r - l > 4) {
            int ll = l + (r - l + 1) / 3;
            int rr = r - (r - l + 1) / 3;
            if (mycount(ll) < mycount(rr)) l = ll;
            else r = rr;
        }
        for(int i = l; i <= r; i++)
            ans = max(ans, mycount(i));
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

70分的C++语言程序（三分法）如下：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 500000 + 1;
int n, a[N];

int mycount(int p)
{
    int cnt = 0, flag = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (flag) {
            if (a[i] >= p) cnt++, flag = 0;
        } else {
            if (a[i] < p) flag = 1;
        }
    return cnt;
}

int main()
{
    int maxa = 0, ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        maxa = max(maxa, a[i]);
    }
    int l = 1, r = maxa;
    while (r - l > 4) {
        int ll = l + (r - l + 1) / 3;
        int rr = r - (r - l + 1) / 3;
        if (mycount(ll) < mycount(rr)) l = ll;
        else r = rr;
    }
    for(int i = l; i <= r; i++)
        ans = max(ans, mycount(i));

    cout << ans << endl;

    return 0;
}