计算机中数的表示

整数的原码表示由符号位和数值位两部分组成。

• 最高位为符号位：0 表示正数，1 表示负数；
• 数值位使用整数绝对值的二进制格式表示；
• 例子（以8位二进制为例）：
  • [ 2 ] 原 = 00000010 [2]_原 = 00000010 [2]原​=00000010
  • [ − 2 ] 原 = 10000010 [-2]_原 = 1000 0010 [−2]原​=10000010
• 0 有两种表示（以4位二进制为例）：0000 和 1000，即 +0 和 -0；
• 如果机器数长度为 n 比特，则整数的取值范围为 [ − ( 2 n − 1 − 1 ) , 2 n − 1 − 1 ] [-(2^{n-1}-1), 2^{n-1}-1] [−(2n−1−1),2n−1−1]。

已知 x x x 的原码，求 − x -x −x 的原码？
直接将 x x x 的符号位取反，数值位保持不变即可。

整数的反码表示由符号位和数值位两部分组成。

• 最高位为符号位：0 表示正数，1 表示负数；
• 对于数值位：正数使用整数的二进制格式表示（和原码相同），负数使用整数绝对值的二进制格式每位取反之后的结果表示；
• 例子（以8位二进制为例）：
  • [ 2 ] 反 = 00000010 [2]_反 = 00000010 [2]反​=00000010
  • [ − 2 ] 反 = 11111101 [-2]_反 = 1111 1101 [−2]反​=11111101
• 0 有两种表示（以4位二进制为例）：0000 和 1111，即 +0 和 -0；
• 如果机器数长度为 n 比特，则整数的取值范围为 [ − ( 2 n − 1 − 1 ) , 2 n − 1 − 1 ] [-(2^{n-1}-1), 2^{n-1}-1] [−(2n−1−1),2n−1−1]。

已知 x x x 的反码，求 − x -x −x 的反码？
直接将 x x x 的每一位取反即可，包括符号位和数值位。

整数的补码表示由符号位和数值位两部分组成。

• 最高位为符号位：0 表示正数，1 表示负数；
• 对于数值位：正数使用整数的二进制格式表示（和原码相同），负数使用整数绝对值的二进制格式每位取反之后再加 1 的结果表示；
• 例子（以8位二进制为例）：
  • [ 2 ] 补 = 00000010 [2]_补 = 00000010 [2]补​=00000010
  • [ − 2 ] 补 = 11111110 [-2]_补 = 1111 1110 [−2]补​=11111110
• 0 只有一种表示（以4位二进制为例）：0000，即 +0 和 -0 具有相同的补码表示；
• 如果机器数长度为 n 比特，则整数的取值范围为 [ − 2 n − 1 , 2 n − 1 − 1 ] [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1] [−2n−1,2n−1−1]。

已知 x x x 的补码，求 − x -x −x 的补码？
首先将 x x x 的每一位取反，然后在末位加 1 即可。

浮点数分为单精度浮点数（32位）和双精度浮点数（64位）。其组成为：

• 单精度浮点数：1位符号位 + 8位指数位 + 23位尾数位；
• 双精度浮点数：1位符号位 + 11位指数位 + 52位尾数位；

设符号位的值为 s s s，指数位的值为 e e e、宽为 w e w_e we​ 比特位，尾数使用二进制串 m m m 表示、 宽为 w m w_m wm​ ；则其表示的浮点数为：

v a l u e = ( − 1 ) s × 2 e − ( 2 w e − 1 − 1 ) × ( 1 + ∑ i = 1 w m m w m − i 2 − i ) value = (-1)^s times 2^{e-(2^{w_e-1}-1)} times (1+sum_{i=1}^{w_m} m_{w_m-i}2^{-i}) value=(−1)s×2e−(2we​−1−1)×(1+i=1∑wm​​mwm​−i​2−i)

注： m i m_i mi​ 表示二进制串 m m m 的第 i i i 位，最右边为第 1 位，从右往左递增。

以 32 位单精度浮点数为例：10111111000000000000000000000000

• s = 1 s=1 s=1；
• w e = 8 w_e=8 we​=8， e = ( 01111110 ) 2 = ( 126 ) 10 e=(01111110)_2=(126)_{10} e=(01111110)2​=(126)10​
• w m = 23 w_m=23 wm​=23， m = 00000000000000000000000 m=00000000000000000000000 m=00000000000000000000000；
• 故， v a l u e = ( − 1 ) 1 × 2 126 − 127 × 1 = − 0.5 value = (-1)^1times 2^{126-127}times 1=-0.5 value=(−1)1×2126−127×1=−0.5

#include 
#include 

using namespace std;

template 
requires is_arithmetic::value
string to_binary(T number)
{
	using ull = unsigned long long;

	char bytes[8] = { 0 };
	memcpy(bytes, &number, sizeof(number));

	ull v = *((ull*)bytes);
	int n_bits = sizeof(number) << 3;
	string result(n_bits, 0);

	for (int i = 0; i < n_bits; i++)
	{
		result[n_bits-1-i] = (v & (1ULL << i))? '1' : '0';
	}

	return result;
}

int main()
{
	cout << to_binary(3) << 'n' << to_binary(-3) << 'n';
	cout << to_binary(0.5f) << 'n' << to_binary(-0.5f);
}

00000000000000000000000000000011
11111111111111111111111111111101
00111111000000000000000000000000
10111111000000000000000000000000