210929算法日记：树状数组

• 今天刚刚开学提高课(什么，你怎么知道我的基础课还有好多不会的)
• 咳咳，实在是因为只刷题太枯燥了，所以想着刷累了看会儿课，这几天老是听别人讲树状数组和线段树，发现自己也可以学，虽然我很菜，所以下面就对树状数组做了一个小结
• 树状数组是干什么的，简而言之就是平均复杂度的前缀和
• 前缀和应该都知道吧，树状数组能在o(logn)的复杂度内求到前缀和，但是换回的是查询更慢(也需要o(logn))前缀和的查询只需要o1
• 但众所周知，logn几乎是常数，所以这波树状数组完胜
• 首先你得维护一个tree数组，他代表的含义就是树状数组里面的值
• 每一个tree[x]代表[x - lowbit(x) + 1，x]的前缀和，干说有些难懂
• 像下面这样

• 如何求前缀和
• sum[8] = tree[8]
• sum[7] = tree[7]+tree[6]+tree[4]
• sum[9] = tree[9]+tree[8]
• 首先从7开始先加上tree[7]
• 之后7-lowbit[7]=6加上tree[6]
• 之后6-lowbit[6]=4加上tree[4]
• 最后4-lowbit(4)=0结束
• tree数组的更新是同样的
• 二进制解释比如说x=10000，则x-1=01111
• 第一段就是（01110~01111]，a[15]
• 第二段就是（01100~01110]，a[13] ~ a[14]
• 第三段就是（01000~01100]，a[9] ~ a[12]
• 第四段就是（00000~01000]，a[1] ~ a[8]
• 加起来再加a[16]就是tree[16]
• 查询操作： 观察发现tree[x]=a[x]+tree[x-1]+tree[x-lowbit(x)-1]+…
• 所以对应的循环遍历是

int res=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tree[i];
return res;

• 修改操作： 再有就是修改了，我们发现000011100…直接影响到的点有且只有一个00010000…也就是x+lowbit(x)
• 所以对应的循环遍历是(如果a[x]要加c)

for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=c;

• 实现很简单，应用也简单，下面用一个例题来终结这篇博客
• link<-----楼兰图腾

#include
#include
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,a[N],low[N],great[N];
typedef long long ll;
int tree[N];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tree[i]+=1;
}
int sum(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tree[i];
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int y=a[i];
        low[i]=sum(y-1);
        great[i]=sum(n)-sum(y);
        add(y);
    }
    memset(tree,0,sizeof tree);
    ll ans1=0,ans2=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int y=a[i];
        ans1+=1ll*low[i]*(sum(y-1));
        ans2+=1ll*great[i]*(sum(n)-sum(y));
        add(y);
    }
    cout< 
 210823完结