文章目录
- 1. 函数的定义
- 2. 函数的性质
- 3. 函数的运算
- 4. 数列的极限
- 5. 函数的极限
- 6. 函数的导数
- 7. 函数的微分
- 8. 原函数
- 9. 不定积分
- 10. 定积分
- 11. 微分方程
- 12. 多元函数的定义
- 13. 偏导数
- 14. 全微分
- 15. 二重积分
- 16. 三重积分
- 17. 曲线积分
- 18. 曲面积分
- 19. 常数项级数
- 20. 函数项级数
1. 函数的定义
详细讨论
设数集
D
∈
R
D in R
D∈R
称映射
f
:
D
→
R
f:D rightarrow R
f:D→R为定义在
D
D
D上的函数，记作
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
D
,
y=f(x),xin D,
y=f(x),x∈D,其中
x
x
x称为自变量，
y
y
y称为因变量，
D
D
D称为定义域，记作
D
f
D_f
Df，即
D
f
=
D
D_f=D
Df=D
2. 函数的性质
详细讨论
- 有界性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D，数集 X ⊂ D X subset D X⊂D
如果存在正数 M M M，使得 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| le M ∣f(x)∣≤M对任一 x ∈ X x in X x∈X都成立
那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有界；
如果这样的 M M M不存在，就称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上无界 - 单调性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D，区间 I ⊂ D I subset D I⊂D
如果对于区间 I I I上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，当 x 1 < x 2 x_1那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上是单调增加的；
如果对于区间 I I I上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，当 x 1 < x 2 x_1f ( x 2 ) f(x_1)>f(x_2) f(x1)>f(x2)
那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上是单调减少的
单调增加和单调减少函数统称为单调函数 - 奇偶性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 D D D关于原点对称
如果对于任一 x ∈ D x in D x∈D， f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)恒成立
那么称 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数；
如果对于任一 x ∈ D x in D x∈D， f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x)恒成立
那么称 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数 - 周期性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D
如果存在一个正数 l l l，使得对于任一 x ∈ D x in D x∈D有 ( x ± l ) ∈ D (x pm l)in D (x±l)∈D，且 f ( x + l ) = f ( x ) f(x+l)=f(x) f(x+l)=f(x)恒成立
那么称 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数
3. 函数的运算
详细讨论
- 分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，通常称为分段函数 - 反函数
设函数 f : D → f ( D ) f:Drightarrow f(D) f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射 f − 1 : f ( D ) → D f^{-1}:f(D)rightarrow D f−1:f(D)→D
称此映射 f − 1 f^{-1} f−1为函数 f f f的反函数 - 复合函数
( f ∘ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] (fcirc g)(x)=f[g(x)] (f∘g)(x)=f[g(x)]
设函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域为 D f D_f Df，函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)的定义域为 D g D_g Dg，且其值域 R g ⊂ D f R_gsubset D_f Rg⊂Df
则 y = f [ g ( x ) ] , x ∈ D g y=f[g(x)], xin D_g y=f[g(x)],x∈Dg称为函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)与函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)构成的复合函数
习惯上只要 R g ⋂ D f ≠ ∅ R_gbigcap D_fne varnothing Rg⋂Df=∅就称为复合函数，此时的定义域就不一定是 R g R_g Rg - 基本运算
设函数 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的定义域依次为 D f , D g , D = D f ⋂ D g ≠ ∅ D_f,D_g,D=D_fbigcap D_gne varnothing Df,Dg,D=Df⋂Dg=∅
则可以定义：- 和（差）
( f ± g ) ( x ) = f ( x ) ± g ( x ) , x ∈ D (fpm g)(x)=f(x)pm g(x),xin D (f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D - 积
( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) , x ∈ D (f· g)(x)=f(x)· g(x),xin D (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),x∈D - 商
( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ D / { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } (dfrac{f}{g})(x)=dfrac{f(x)}{g(x)},xin D/ {x|g(x)=0,xin D} (gf)(x)=g(x)f(x),x∈D/{x∣g(x)=0,x∈D}
- 和（差）
4. 数列的极限
设
{
x
n
}
{x_n}
{xn}为一数列
如果存在常数
a
a
a对于任意给定的正数
ε
varepsilon
ε（不论它多么小），总存在正整数
N
N
N，使得当
n
>
N
n>N
n>N时，不等式
∣
x
−
a
∣
<
ε
|x-a|
记为
lim
n
→
∞
x
n
=
a
或
x
n
→
a
(
n
→
∞
)
lim_{nrightarrowinfin}x_n=a或x_nrightarrow a(nrightarrowinfin)
n→∞limxn=a或xn→a(n→∞)
如果不存在这样的常数
a
a
a
就说数列
{
x
n
}
{x_n}
{xn}没有极限，或者说数列
{
x
n
}
{x_n}
{xn}是发散的，习惯上也说极限不存在
5. 函数的极限
- 自变量趋于有限值时函数的极限
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0的某一去心邻域内有定义
如果存在常数 A A A，对于任意给定的正数 ε varepsilon ε（不论它多么小），总存在正数 δ delta δ，使得当 x x x满足不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|那么常数 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0时的极限
记作 lim x → x 0 f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( 当 x → x 0 ) lim_{xrightarrow x_0}f(x)=A或f(x)rightarrow A(当xrightarrow x_0) x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0)
总结 lim x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 时 ， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε lim_{xrightarrow x_0}f(x)=AlrArr\forall varepsilon>0,exist delta>0,当0<|x-x_0| - 自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f ( x ) f(x) f(x)当 ∣ x ∣ |x| ∣x∣大于某一正数时有定义
如果存在常数 A A A，对于任意给定的正数 ε varepsilon ε（不论它多么小），总存在正数 X X X，使得当 x x x满足不等式 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X时，对应的函数值 f ( x ) f(x) f(x)都满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|那么常数 A A A就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → ∞ xrightarrow infin x→∞时的极限
记作 lim x → ∞ f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( 当 x → ∞ ) lim_{xrightarrow infin}f(x)=A或f(x)rightarrow A(当xrightarrow infin) x→∞limf(x)=A或f(x)→A(当x→∞)
总结 lim x → ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ X > 0 , 当 ∣ x ∣ > X 时 ， 有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε lim_{xrightarrow infin}f(x)=AlrArr\forall varepsilon>0,exist X>0,当|x|>X时，有|f(x)-A|0,∃X>0,当∣x∣>X时，有∣f(x)−A∣<ε - 无穷小
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ xrightarrowinfin x→∞）时的极限为零
那么称 f ( x ) f(x) f(x)为当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ xrightarrowinfin x→∞）时的无穷小 - 无穷大
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0的某一去心邻域内有定义（或 ∣ x ∣ |x| ∣x∣大于某一正数时有定义）
如果对于任意给定的正数 M M M（不论它多么大），总存在正数 δ delta δ（或正数 X X X），只要 x x x适合不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|X |x|>X ∣x∣>X），对应的函数值 f ( x ) f(x) f(x)总满足不等式 ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)|>M ∣f(x)∣>M
那么称函数 f ( x ) f(x) f(x)是当 x → x 0 xrightarrow x_0 x→x0（或 x → ∞ xrightarrowinfin x→∞）时的无穷大
6. 函数的导数
设函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0的某个邻域内有定义，当自变量
x
x
x在
x
0
x_0
x0处取得增量
Δ
x
Delta x
Δx（点
x
0
+
Δ
x
x_0+Delta x
x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0)
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)
如果
Δ
y
Delta y
Δy与
Δ
x
Delta x
Δx之比当
Δ
x
→
0
Delta xrightarrow 0
Δx→0时的极限存在
那么称函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处可导，并称这个极限为函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0处的导数
记为
f
′
(
x
0
)
f'(x_0)
f′(x0)
即
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
f'(x_0)=lim_{Delta xrightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xrightarrow 0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}
f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
也可记作
y
′
∣
x
=
x
0
,
d
y
d
x
∣
x
=
x
0
或
d
f
(
x
)
d
x
∣
x
=
x
0
y'|_{x=x_0},frac{dy}{dx}|_{x=x_0}或frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}
y′∣x=x0,dxdy∣x=x0或dxdf(x)∣x=x0
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处可导有时也说成
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0具有导数或导数存在
7. 函数的微分
设函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在某区间内有定义，
x
0
x_0
x0及
x
0
+
Δ
x
x_0+Delta x
x0+Δx在这区间内
如果函数的增量
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0)
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为
Δ
y
=
A
Δ
x
+
o
(
Δ
x
)
Delta y=ADelta x+o(Delta x)
Δy=AΔx+o(Δx)，其中
A
A
A是不依赖于
Δ
x
Delta x
Δx的常数
那么称函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0是可微的，而
A
Δ
x
ADelta x
AΔx叫做函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0相应于自变量增量
Δ
x
Delta x
Δx的微分
记作：
d
y
dy
dy
即
d
y
=
A
Δ
x
dy=ADelta x
dy=AΔx
8. 原函数
如果在区间
I
I
I上，可导函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)的导函数为
f
(
x
)
f(x)
f(x)
即对任一
x
∈
I
xin I
x∈I，都有
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
或
d
F
(
x
)
=
f
(
x
)
d
x
F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
那么函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)就称为
f
(
x
)
f(x)
f(x)（或
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx）在区间
I
I
I上的一个原函数
9. 不定积分
在区间
I
I
I上，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的带有任意常数项的原函数称为
f
(
x
)
f(x)
f(x)（或
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx）在区间
I
I
I上的不定积分
记作
∫
f
(
x
)
d
x
int f(x)dx
∫f(x)dx
其中
∫
int
∫称为积分号，
f
(
x
)
f(x)
f(x)称为被积函数，
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx称为被积表达式，
x
x
x称为积分变量
总结
∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C
int f(x)dx=F(x)+C
∫f(x)dx=F(x)+C
10. 定积分
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上有界，在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上任意插入若干个分点
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
.
.
.
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
,
a=x_0
那么称这个极限
I
I
I为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上的定积分（简称积分）
记作
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
I
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
,
int_a^bf(x)dx=I=lim_{lambdarightarrow0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i,
∫abf(x)dx=I=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi,其中
f
(
x
)
f(x)
f(x)称为被积函数，
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx称为被积表达式，
x
x
x称为积分变量，
a
a
a叫做积分下限，
b
b
b叫做积分上限，
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]叫做积分区间
11. 微分方程
一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫做微分方程。
12. 多元函数的定义
设
D
D
D是
R
n
R^n
Rn的一个非空子集
称映射
f
:
D
→
R
f:Drightarrow R
f:D→R为定义在
D
D
D上的
n
n
n元函数
通常记为
u
=
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
,
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
∈
D
或
u
=
f
(
x
)
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
∈
D
或
u
=
f
(
P
)
,
P
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
∈
D
u=f(x_1,x_2,...,x_n),(x_1,x_2,...,x_n)in D或u=f(bold x),bold x=(x_1,x_2,...,x_n)in D或u=f(P),P(x_1,x_2,...,x_n)in D
u=f(x1,x2,...,xn),(x1,x2,...,xn)∈D或u=f(x),x=(x1,x2,...,xn)∈D或u=f(P),P(x1,x2,...,xn)∈D
13. 偏导数
设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)的某一邻域内有定义，当
y
y
y固定在
y
0
y_0
y0而
x
x
x在
x
0
x_0
x0处有增量
Δ
x
Delta x
Δx时，相应的函数有增量
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0+Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)
f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
如果
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
lim_{Delta xrightarrow 0}frac{f(x_0+Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{Delta x}
Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)存在
那么称此极限为函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)处对
x
x
x的偏导数
记作
∂
z
∂
x
∣
x
=
x
0
,
y
=
y
0
,
∂
f
∂
x
∣
x
=
x
0
,
y
=
y
0
,
z
x
∣
x
=
x
0
,
y
=
y
0
或
f
x
(
x
0
,
y
0
)
dfrac{partial z}{partial x}|_{x=x_0,y=y_0},dfrac{partial f}{partial x}|_{x=x_0,y=y_0},z_x|_{x=x_0,y=y_0}或f_x(x_0,y_0)
∂x∂z∣x=x0,y=y0,∂x∂f∣x=x0,y=y0,zx∣x=x0,y=y0或fx(x0,y0)
14. 全微分
设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)的某一邻域内有定义
如果函数在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)的全增量
Δ
z
=
f
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)
Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可表示为
Δ
z
=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
+
o
(
ρ
)
,
Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho),
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中
A
A
A和
B
B
B不依赖于
Δ
x
Delta x
Δx和
Δ
y
Delta y
Δy而仅与
x
x
x和
y
y
y有关，
ρ
=
(
Δ
x
)
2
+
(
Δ
y
)
2
rho=sqrt{(Delta x)^2+(Delta y)^2}
ρ=(Δx)2+(Δy)2
那么称函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)可微分，而
A
Δ
x
+
B
Δ
y
ADelta x+BDelta y
AΔx+BΔy称为函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)的全微分
记作
d
z
dz
dz
即
d
z
=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
dz=ADelta x+BDelta y
dz=AΔx+BΔy
15. 二重积分
设
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)是有界闭区域
D
D
D上的有界函数，将闭区域
D
D
D任意分成
n
n
n个小闭区域
Δ
σ
1
,
Δ
σ
2
,
.
.
.
,
Δ
σ
n
,
Delta sigma_1,Delta sigma_2,...,Delta sigma_n,
Δσ1,Δσ2,...,Δσn,其中
Δ
σ
i
Delta sigma_i
Δσi表示第
i
i
i个小闭区域，也表示它的面积，在每一个
Δ
σ
i
Delta sigma_i
Δσi上任取一点
(
ξ
i
,
η
i
)
(xi_i,eta_i)
(ξi,ηi)，作乘积
f
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
σ
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
f(xi_i,eta_i)Delta sigma_i(i=1,2,...,n)
f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,...,n)，并作积分和
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
σ
i
sum_{i=1}^nf(xi_i,eta_i)Delta sigma_i
i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
如果当各小闭区域的直径中的最大值
λ
→
0
lambdarightarrow 0
λ→0时，这和的极限总存在，且与闭区域
D
D
D的分法及点
(
ξ
i
,
η
i
)
(xi_i,eta_i)
(ξi,ηi)的取法无关
那么称此极限为函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在闭区域
D
D
D上的二重积分
记作
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
,
η
i
)
Δ
σ
i
,
iint_Df(x,y)dsigma=lim_{lambdarightarrow0}sum_{i=1}^nf(xi_i,eta_i)Delta sigma_i,
∬Df(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi,其中
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)叫做被积函数，
f
(
x
,
y
)
d
σ
f(x,y)dsigma
f(x,y)dσ叫做被积表达式，
d
σ
dsigma
dσ叫做面积元素，
x
x
x与
y
y
y叫做积分变量，
D
D
D叫做积分区域
16. 三重积分
设
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)是空间有界闭区域
Ω
Omega
Ω上的有界函数，将
Ω
Omega
Ω任意分成
n
n
n个小闭区域
Δ
v
1
,
Δ
v
2
,
.
.
.
,
Δ
v
n
,
Delta v_1,Delta v_2,...,Delta v_n,
Δv1,Δv2,...,Δvn,其中
Δ
v
i
Delta v_i
Δvi表示第
i
i
i个小闭区域，也表示它的体积，在每一个
Δ
v
i
Delta v_i
Δvi上任取一点
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
(xi_i,eta_i,zeta_i)
(ξi,ηi,ζi)，作乘积
f
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
v
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta v_i(i=1,2,...,n)
f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,...,n)，并作积分和
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
v
i
sum_{i=1}^nf(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta v_i
i=1∑nf(ξi,ηi,ζi)Δvi
如果当各小闭区域的直径中的最大值
λ
→
0
lambdarightarrow 0
λ→0时，这和的极限总存在，且与闭区域
Ω
Omega
Ω的分法及点
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
(xi_i,eta_i,zeta_i)
(ξi,ηi,ζi)的取法无关
那么称此极限为函数
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)在闭区域
Ω
Omega
Ω上的三重积分
记作
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
v
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
v
i
,
iiint_Omega f(x,y,z)dv=lim_{lambdarightarrow0}sum_{i=1}^nf(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta v_i,
∭Ωf(x,y,z)dv=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ζi)Δvi,其中
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)叫做被积函数，
d
v
dv
dv叫做面积元素，
Ω
Omega
Ω叫做积分区域
17. 曲线积分
积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。
18. 曲面积分
定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分
19. 常数项级数
一般地，如果给定一个数列
u
1
,
u
2
,
u
3
,
.
.
.
,
u
n
,
.
.
.
u_1,u_2,u_3,...,u_n,...
u1,u2,u3,...,un,...
那么由这个数列构成的表达式
u
1
+
u
2
+
u
3
+
.
.
.
+
u
n
+
.
.
.
u_1+u_2+u_3+...+u_n+...
u1+u2+u3+...+un+...叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数
即
∑
i
=
1
∞
u
i
=
u
1
+
+
u
2
+
u
3
+
.
.
.
+
u
i
+
.
.
.
sum_{i=1} ^{infin}u_i=u_1++u_2+u_3+...+u_i+...
i=1∑∞ui=u1++u2+u3+...+ui+...，其中第
n
n
n项
u
n
u_n
un叫做级数的一般项
20. 函数项级数
如果给定一个定义在区间
I
I
I上的函数列
u
1
(
x
)
,
u
2
(
x
)
,
u
3
(
x
)
,
.
.
.
,
u
n
(
x
)
,
.
.
.
u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),...
u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...
那么由这函数列构成的表达式
u
1
(
x
)
+
u
2
(
x
)
+
u
3
(
x
)
+
.
.
.
+
u
n
(
x
)
+
.
.
.
u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...
u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...称为定义在区间
I
I
I上的函数项级数。
