力扣416——分割等和子集

这道题主要涉及的是动态规划，类似背包问题，主要还是需要找出状态转移方程，优化时可以考虑采用深度优先搜索。

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

1. 每个数组中的元素不会超过 100
2. 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

原题url：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/

针对这种问题，动态规划是最直接的思路。针对每一个数字，你都有两个选择：选、不选。我们的目标是为了让选出来的数字之和等于所有数字之和的一半。

这和0-1 背包问题很类似，我们可以利用二维表格 dp 解决，表格有len行、target+1列，这里len表示当前数字所处的数组下标，target表示所有数字之和(最大值为：所有数字之和的一半)，target+1是表明数字之和从0开始。

接下来考虑状态定义和状态转移方程：

状态定义：dp[i][j]表示从原始数组的 [0, i] 这个子区间内挑选一些数，每个数只能用一次，使得这些数的和恰好等于 j。

状态转移方程：对于“0-1 背包问题”，就是考虑数字是否选择。

1. 不选择 nums[i]，如果在 [0, i - 1] 这个子区间内已经有一部分元素，使得它们的和为 j ，那么 dp[i][j] = true；
2. 选择 nums[i]，如果在 [0, i - 1] 这个子区间内就得找到一部分元素，使得它们的和为 j - nums[i]，那么 dp[i][j] = true；
3. 其余情况，dp[i][j] = false；

所以状态转移方程是：dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]

接下来我们看看代码：

public class Solution {

    public boolean canPartition(int[] nums) {
 int len = nums.length;
 if (len == 0) {
     return false;
 }
				
 // 求所有数字之和
 int sum = 0;
 for (int num : nums) {
     sum += num;
 }

 // 如果总和是奇数，就无法计算
 if ((sum & 1) == 1) {
     return false;
 }
 // 目标值：总和的一半
 int target = sum / 2;
 // 创建二维状态数组，行：物品索引，列：容量（包括 0）
 boolean[][] dp = new boolean[len][target + 1];

 // 先填表格第 0 行，第 1 个数只能让容积为它自己的背包恰好装满
 if (nums[0] <= target) {
     dp[0][nums[0]] = true;
 }

 // 再填表格后面几行
 for (int i = 1; i < len; i++) {
     for (int j = 0; j <= target; j++) {
  // 如果之前已经有总和为 j 的情况(这样不需要nums[i])，说明可以满足
  if (dp[i - 1][j] ||
      // 如果当前的数字nums[i]刚好为j，说明可以满足
      nums[i] == j ||
      // 如果当前的数字nums[i]小于j，并且之前就有总和为(j - nums[i])的情况(这样加上nums[i]刚好满足j)
      (nums[i] < j && dp[i - 1][j - nums[i]])) {
      dp[i][j] = true;
  } else {
      dp[i][j] = false;
  }
     }
 }
 return dp[len - 1][target];
    }
}

public class Solution {

    public boolean canPartition(int[] nums) {
 int len = nums.length;
 if (len == 0) {
     return false;
 }
				
 // 求所有数字之和
 int sum = 0;
 for (int num : nums) {
     sum += num;
 }

 // 如果总和是奇数，就无法计算
 if ((sum & 1) == 1) {
     return false;
 }
 // 目标值：总和的一半
 int target = sum / 2;
 // 创建一维数组
 boolean[] dp = new boolean[target + 1];
 dp[0] = true;
 // 记录第一个数字的情况
 if (nums[0] <= target) {
     dp[nums[0]] = true;
 }

 // 再填表格
 for (int i = 1; i < len; i++) {
     for (int j = target; nums[i] <= j; j--) {
  if (dp[target]) {
      return true;
  }

  dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
     }
 }
 return dp[target];
    }
}

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
 // 求和
 int sum = 0;
 for (int num : nums) {
     sum += num;
 }
 // 如果是奇数，说明不可平分
 if ((sum & 1) == 1) {
     return false;
 }
 // 求出一半应该是多少
 sum = sum >> 1;

 // 从小到大排序
 Arrays.sort(nums);
 // 从后向前添加
 return canPartition(nums, nums.length - 1, sum, sum);
    }

    public boolean canPartition(
 int[] nums,
 int index,
 int canIncrease,
 int canDecrease) {
 // 如果可以增加或者可以减少的量为0，说明已经达到一半，成功
 if (canIncrease == 0 || canDecrease == 0) {
     return true;
 }

 // 如果可以增加或者可以减少的量为0，说明已经超过一半，失败
 if (canIncrease < 0 || canDecrease < 0) {
     return false;
 }

 // 继续下一个，如果已经遍历完，则失败
 if (index < 0) {
     return false;
 }
 // 添加当前元素或者放弃当前元素
 return canPartition(nums, index - 1, canIncrease - nums[index], canDecrease) ||
     canPartition(nums, index - 1, canIncrease, canDecrease - nums[index]);
    }
}