数据结构算法题之基础排序

插入排序是很基本的排序，特别是在数据基本有序的情况下，插入排序的性能很高，最好情况可以达到O(N)，其最坏情况和平均情况时间复杂度都是 O(N^2)。代码如下：

void insertSort(int a[], int n)
{
    int i, j;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        
        int key = a[i];
        for (j = i; j > 0 && a[j-1] > key; j--) {
            a[j] = a[j-1];
        }
        a[j] = key;
    }
}

希尔排序内部调用插入排序来实现，通过对 N/2，N/4…1阶分别排序，最后得到整体的有序。

void shellSort(int a[], int n)
{
    int gap;
    for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) {
        int i;
        for (i = gap; i < n; i++) {
            int key = a[i], j;
            for (j = i; j >= gap && key < a[j-gap]; j -= gap) {
                a[j] = a[j-gap];
            }
            a[j] = key;
        }
    }
}

选择排序的思想就是第i次选取第i小的元素放在位置i。比如第1次就选择最小的元素放在位置0，第2次选择第二小的元素放在位置1。

选择排序最好和最坏时间复杂度都为 O(N^2)。

代码如下：

void selectSort(int a[], int n)
{
    int i, j, min, tmp;
    for (i = 0; i < n-1; i++) {
        min = i;
        for (j = i+1; j < n; j++) {
            if (a[j] < a[min])
                min = j;
        }
        if (min != i)
            tmp = a[i], a[i] = a[min], a[min] = tmp; //交换a[i]和a[min]
    }
}

循环不变式：在外层循环执行前，a[0…i-1]包含 a 中最小的 i 个数，且有序。

• 初始时，i=0，a[0…-1] 为空，显然成立。

• 每次执行完成后，a[0…i] 包含 a 中最小的 i+1 个数，且有序。即第一次执行完成后，a[0…0] 包含 a 最小的 1 个数，且有序。

• 循环结束后，i=n-1，则 a[0…n-2]包含 a 最小的 n-1 个数，且已经有序。所以整个数组有序。

冒泡排序时间复杂度跟选择排序相同。其思想就是进行 n-1 趟排序，每次都是把最小的数上浮，像鱼冒泡一样。最坏情况为 O(N^2)。代码如下：

void bubbleSort(int a[], int n)
{
    int i, j, tmp;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = n-1; j >= i+1; j--) {
            if (a[j] < a[j-1])
                tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
        }
    }
}

循环不变式：在循环开始迭代前，子数组 a[0…i-1] 包含了数组 a[0..n-1] 的 i-1 个最小值，且是排好序的。

对冒泡排序的一个改进就是在每趟排序时判断是否发生交换，如果一次交换都没有发生，则数组已经有序，可以不用继续剩下的趟数直接退出。改进后代码如下：

void betterBubbleSort(int a[], int n)
{
    int tmp, i, j;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        int sorted = 1;
        for (j = n-1; j >= i+1; j--) {
            if (a[j] < a[j-1]) {
                tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
                sorted = 0;
            }   
        }   
        if (sorted)
            return ;
    }   
}