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什么是二叉查找树在数据结构中，有一个奇葩的东西，说它奇葩，那是因为它重要，这就是树。而在树中，二叉树又是当中的贵族。二叉树的一个重要应用是它们在查找中的应用，于是就有了二叉查找树。 使二叉树成为一颗二叉查找树，需要满足以下两点：
对于树中的每个节点X，它的左子树中所有项的值都要小于X中的项；
对于树中的每个节点Y，它的右子树中所有项的值都要大于X中的项。
以下是对于二叉查找树的基本操作定义类，然后慢慢分析是如何实现它们的。
findMin和findMax实现template
class BinarySearchTree
{
public:
// 构造函数，初始化root值
BinarySearchTree() : root(NULL){}
// 析构函数，默认实现
~BinarySearchTree() {}
// 查找最小值，并返回最小值
const T &findMin() const;
// 查找最大值，并返回最大值
const T &findMax() const;
// 判断二叉树中是否包含指定值的元素
bool contains(const T &x) const;
// 判断二叉查找树是否为空
bool isEmpty() const { return root ? false : true; }
// 打印二叉查找树的值
void printTree() const;
// 向二叉查找树中插入指定值
void insert(const T &x);
// 删除二叉查找树中指定的值
void remove(const T &x);
// 清空整个二叉查找树
void makeEmpty() const;
private:
// 指向根节点
BinaryNode
*root; void insert(const T &x, BinaryNode
*&t) const; void remove(const T &x, BinaryNode
*&t) const; BinaryNode
*findMin(BinaryNode *t) const; BinaryNode
*findMax(BinaryNode *t) const; bool contains(const T &x, BinaryNode
*t) const; void printTree(BinaryNode
*t) const; void makeEmpty(BinaryNode
*&t) const; };
根据二叉查找树的性质：
对于树中的每个节点X，它的左子树中所有项的值都要小于X中的项；
对于树中的每个节点Y，它的右子树中所有项的值都要大于X中的项。
我们可以从root节点开始：
一直沿着左节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就可以找到最小值了；
一直沿着右节点往下找，直到子节点等于NULL为止，这样就可以找到最大值了。
如下图所示：
在程序中实现时，有两种方法：
使用递归实现；
使用非递归的方式实现。
对于finMin的实现，我这里使用递归的方式，代码参考如下：
BinaryNode
*BinarySearchTree ::findMin(BinaryNode *t) const {
if (t == NULL)
{
return NULL;
}
else if (t->left == NULL)
{
return t;
}
else
{
return findMin(t->left);
}
}
在findMin()的内部调用findMin(BinaryNode
template
BinaryNode
*BinarySearchTree ::findMax(BinaryNode *t) const {
if (t == NULL)
{
return NULL;
}
while (t->right)
{
t = t->right;
}
return t;
}
在很多面试的场合下，面试官一般都是让写出非递归的版本；而在对树进行的各种操作，很多时候都是使用的递归实现的，所以，在平时学习时，在理解递归版本的前提下，需要关心一下对应的非递归版本。
contains实现contains用来判断二叉查找树是否包含指定的元素。代码实现如下：
template
bool BinarySearchTree
::contains(const T &x, BinaryNode *t) const {
if (t == NULL)
{
return false;
}
else if (x > t->element)
{
return contains(x, t->right);
}
else if (x < t->element)
{
return contains(x, t->left);
}
else
{
return true;
}
}
算法规则如下：
首先判断需要查找的值与当前节点值的大小关系；
当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找；
当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找；
当找到该值时，直接返回true。
insert函数用来向儿茶查找树中插入新的元素，算法处理如下：
首先判断需要插入的值域当前节点值得大小关系；
当小于当前节点值时，就在左节点中继续查找插入点；
当大于当前节点值时，就在右节点中继续查找插入点；
当等于当前节点值时，什么也不干。
代码实现如下：
remove实现template
void BinarySearchTree
::insert(const T &x, BinaryNode *&t) const {
if (t == NULL)
{
t = new BinaryNode
(x, NULL, NULL); }
else if (x < t->element)
{
insert(x, t->left);
}
else if (x > t->element)
{
insert(x, t->right);
}
}
remove函数用来删除二叉查找树中指定的元素值，这个处理起来比较麻烦。在删除子节点时，需要分以下几种情况进行考虑（结合下图进行说明）： 如下图所示：
需要删除的子节点，它没有任何子节点；例如图中的节点9、节点17、节点21、节点56和节点88；这些节点它们都没有子节点；
需要删除的子节点，只有一个子节点（只有左子节点或右子节点）；例如图中的节点16和节点40；这些节点它们都只有一个子节点；
需要删除的子节点，同时拥有两个子节点；例如图中的节点66等。
对于情况1，直接删除对应的节点即可；实现起来时比较简单的；
对于情况2，直接删除对应的节点，然后用其子节点占据删除掉的位置；
对于情况3，是比较复杂的。首先在需要被删除节点的右子树中找到最小值节点，然后使用该最小值替换需要删除节点的值，然后在右子树中删除该最小值节点。
假如现在需要删除包含值23的节点，步骤如下图所示：
代码实现如下：
makeEmpty实现template
void BinarySearchTree
::remove(const T &x, BinaryNode *&t) const {
if (t == NULL)
{
return;
}
if (x < t->element)
{
remove(x, t->left);
}
else if (x > t->element)
{
remove(x, t->right);
}
else if (t->left != NULL && t->right != NULL)
{
// 拥有两个子节点
t->element = findMin(t->right)->element;
remove(t->element, t->right);
}
else if (t->left == NULL && t->right == NULL)
{
// 没有子节点，直接干掉
delete t;
t = NULL;
}
else if (t->left == NULL || t->right == NULL)
{
// 拥有一个子节点
BinaryNode *pTemp = t;
t = (t->left != NULL) ? t->left : t->right;
delete pTemp;
}
}
makeEmpty函数用来释放整个二叉查找树占用的内存空间，同理，也是使用的递归的方式来实现的。具体代码请下载文中最后提供的源码。
总结这篇文章对数据结构中非常重要的二叉查找树进行了详细的总结，虽然二叉查找树非常重要，但是理解起来还是非常容易的，主要是需要掌握对递归的理解。如果对递归有非常扎实的理解，那么对于树的一些操作，那都是非常好把握的，而理解二叉查找树又是后续的AVL平衡树和红黑树的基础，希望这篇文章对大家有帮助。
