题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/triangle
题目给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
解题思路思路：递归，动态规划
首先先看题目中的提示，【相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点】。
我们设 f(i, j) 为点 (i, j) 到底部的最小路径和。现在根据上面这个提示，可以很容易得到公式：
f(i, j) = min(f(i+1, j), f(i+1, j+1)) + triangle[i][j]
也就是说，要求的路径和为：取当前结点相邻的两个结点最小值，加上当前结点的值。
递归先尝试使用递归的方法求解，根据上面的公式，直接贴上代码：
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
return self.path(triangle, 0, 0)
def path(self, triangle, i, j):
# 设置终止条件
if i == len(triangle):
return 0
# 直接使用公式
return min(self.path(triangle, i+1, j), self.path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]
上面的代码执行超时，因为进行了大量的重复计算，现在考虑进行优化。
递归（优化）在这里，采用建立备忘录的方法，避免重复的计算，同样这里贴上代码：
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
# 备忘录
memo = {}
def path(triangle, i, j):
# 设置终止条件
if i == len(triangle):
return 0
if (i, j) in memo:
return memo[(i, j)]
memo[(i, j)] = min(path(triangle, i+1, j), path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]
# 直接使用公式
return min(path(triangle, i+1, j), path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]
return path(triangle, 0, 0)
上面的方法都是自顶向下的，现在我们尝试使用动态规划，实现自底向上求解。
动态规划使用动态规划的解法，先进行状态定义。
状态定义
设 dp[i][j] 为点 (i, j) 到底部的最小路径和。
状态转移方程
同样的，我们根据最开始得出的公式，可以得到状态转移方程为：
dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
具体代码实现见【代码实现 # 动态规划】
动态规划（空间优化）上面的动态规划算法中，我们定义的是一个二维数组。当我们计算 dp[i][j] 的时候，用到的是下一行的 dp[i+1][j] 和 dp[i+1][j+1]。那我们可以直接考虑从底部往上，定义一个一维数组。
具体代码实现见【代码实现 # 动态规划（空间优化）】
代码实现# 动态规划
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
m = len(triangle)
dp = [[0] * (m+1) for _ in range(m+1)]
for i in range(m-1, -1, -1):
for j in range(0, i+1):
dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
return dp[0][0]
# 动态规划（空间优化）
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
m = len(triangle)
dp = [0] * (m+1)
for i in range(m-1, -1, -1):
for j in range(0, i+1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j+1]) + triangle[i][j]
return dp[0]
动态规划（优化前）
