快速计算补码表示的值

前提

• 掌握二进制与十进制的转换。
• 掌握原码、反码、补码。
• Java 的整数型 byte 的取值范围。

目的

无需将补码转成原码，再计算原码表示的值：

• 快速计算补码表示的值。
• 两个同类型的值相加后，若溢出，值为？

公理 1

w 位二进制数，此二进制数能够表示的最大值：2^w - 1。如 0b11111111 = 2⁸ - 1 = 255。

推导 1

以 8 位为例，设 0b111110 = x。

-x 的原码：1 1111110
-x 的反码：1 0000001
-x 的补码：1 0000010

反码是除了符号位，对原码求反，0b1111111 - 0b1111110 = 0b0000001。不考虑符号位，得到的二进制数值为：(2⁷ - 1) - x = 127 - x。

补码是反码+1，值为：128 - x。如果再加上符号位 1，当成原码看待，值为：-(128 - x) = -128 + x。

-x 的补码是 -128 + x 的原码。

结论 1

设 x < 0，则 x 的补码是 -2^w-1 - x 的原码。

例 1：w = 8，计算补码 1 0000011 对应的值。

看符号位为 1，是负数的补码。

• 设此值为 x，x 的补码 1 0000011 是 -128 - x 的原码 1 0000011。

• -3 的原码 1 0000011。

• 推出：-128 - x = -3。

• 得到：x = -128 + 3 = -125。

  -3 移到左边变为正数，x = -128 + 0b00000011 = -125。

验证：

补码：1 0000011
反码：1 0000010
原码：1 1111101

0b1111101 = 125，再加上符号位，值为 -125

例 2：w = 8，计算补码 1 1010001 对应的值。

值 = -128 + 0b01010001 = -128 + 81 = -47。

推导 2

补码 1 1010001 = -128 + 0b1010001。

二进制数 1 1010001 = 0b10000000 + 0b1010001 = 128 + 0b1010001。

二进制数 = 补码 + 256。

结论 2

x < 0，则 x 的补码被当成二进制数后，值为 x + 2^w。

例 3：w = 8，值为 -32 的补码被当作二进制数时，值为？

值 = -32 + 256 = 224。

-32 的原码：1 0100000
-32 的补码：1 1100000
0b11100000 = 224

例 4：w = 8，求 -21 的补码。

-21 + 256 = 235，-21 的补码为 235 的二进制 11101011。

公理 2

w 位二进制数作为补码，取值范围：[-2^w-1，2^w-1 - 1]，超出此范围，溢出，无法精确表示值。

推导 3

w = 8 时，正数范围：[1，127]，即 00000001 ~ 01111111。

当计算结果 x 处于 [128，255] 时，最高位为 1，被当作补码的符号位。

• 最高位不表示值，减去 0b10000000(128)。
• 由例 2 得知，计算补码还得减去 128。
• 所以 x 的二进制被当作补码后，值为 x - 256。

如 129 的 10000001 被当作补码后，值为 -127。

• 129 = 0b10000000 + 0b00000001，减去 128，得到 0b00000001。
• 补码 10000001 对应的值：-128 + 0b00000001 = -127。

结论 3

当 x 处于 [2^w-1，2^w - 1] 范围内，被当作补码后，值为 x - 2^w。

例 5：

byte b = 127;
b += 3;
System.out.println(b);// -126

b = 130 - 2⁸ = 130 - 256 = -126。

推导 4

当计算结果 x 处于 [-255，-129] 时，最高位为 0，被当作正数的补码。

-128 + -1 =

   10000000
+  11111111
= 101111111

想要完整表示此补码，w 需等于 9，由例 2 得，补码 101111111 对应的值为：-2⁸ + 0b01111111 = -256 + 127 = -129。

现在只留 8 位，剩下 0b01111111 = -129 + 2⁸ = 127。

结论 4

当 x 处于 [-2^w + 1，-2^w-1 - 1] 范围内，被当作补码后，值为 x + 2^w。

例 6：

byte b = -128;
b -= 23;
System.out.println(b);// 105

-151 + 256 = 105。

待证明

x > 0，设 m = x % 2^w。

• 若 m ∈ [0，2^w-1 - 1]，则值为 m。

• 若 m ∈ [2^w-1，2^w - 1]，则值为 m - 2^w。

// 1294 % 256 = 14
System.out.println((byte)1294);// 14
// 640 % 256 = 128，128 - 256 = -128
System.out.println((byte)640);// -128
// 1023 % 256 = 255，255 - 256 = -1
System.out.println((byte)1023);// -1
System.out.println((byte)1024);// 0

x < 0，设 m = x % 2^w。

• 若 m = 0，则值为 0。

• 若 m ∈ [-2^w-1，-1]，则值为 m。

• 若 m ∈ [-2^w + 1，-2^w-1 - 1]，则值为 m + 2^w。

// -532 % 256 = -20
System.out.println((byte)-532);// -20
// -400 % 256 = -144，-144 + 256 = 112
System.out.println((byte)-400);// 112
// -512 % 256 = 0
System.out.println((byte)-512);// 0
// -1234 % 256 = -210，-210 + 256 = 46
System.out.println((byte)-1234);// 46