算法 x的平方根（二分法、牛顿迭代法）

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给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2
示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

二分法不做赘述，代码如下：

// 二分法
int mySqrt(int x){
    int index = -1;  // 因为 0/1都可能是结果，所以 -1 用来表示不可能的结果
    int left = 0, right = x;
    long mid;

    while(left <= right)
    {
        mid = left + (right - left)/2;
        if(mid * mid <= x)  // 此处 mid*mid的类型是int，可能会导致溢出。所以mid的类型要为long
        {
            index = mid;
            left = mid + 1;
        }
        else
        {
            right = mid - 1;
        }
    }

    return index;
}

假设平方根是 i，则 i 和 x/i 必然都是 x 的因子，而 x/i 必然等于 i，推导出 i + x/i = 2 * i，得出 i = (i + x/i) / 2。

由此得出解法，i 可以任选一个值，主要上述公式成立，i 必然是 x 的平方根，如果不成立，(i + x/i) / 2得出的值进行递归，直至得出正确解。

为什么“(i + x/i) / 2得出的值进行递归，就能得出正确解”？

假设求 12 的平方根，我们令 i 等于12。这样的话，(i + x/i) / 2 = （12 + 12/12）/ 2 = 13 / 2 = 6.5，c语言中对 6.5 类型转换为 int，结果就是 6。此时，6 相比 12（i）和 1（12/12）更接近 12 的平方根。

接着把 6 赋值给 i，得到 (i + x/i) / 2 = （6 + 12/6）/ 2 = 8 / 2 = 4。此时，4 相比 6（i）和 2（12/6）更接近 12 的平方根（2 的平方是 4，6 的平方是 36，而 4 的平方是 16，最接近 12）。即两个因子的均值更接近其平方根。

最终代码如下：

// 牛顿迭代法
double squart(double i, int x)
{
    double res = (i + x/i)/2;  // res 比 i 更接近 x 的平方根
    if(res == i)
    {
        return i;
    }
    else
    {
        return squart(res, x);
    }
}

int mySqrt(int x){
    if(x == 0 ||　x == 1) return x;

    return (int)squart(x, x);  // x的取值只会影响计算次数，取什么值无所谓。
}