并查集初步

概念：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（disjoint sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

初始化：

void MakeSet() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}

操作：并查集主要包含以下两个基本操作：

1.查询一个元素属于那个集合

int FindSet(int x) {
    if (fa[x] == x)
        return x;
    return FindSet(fa[x]);
}

2.把两个集合合并成一个大集合

void UnionSet(int x, int y) {
    int l = FindSet(x);
    int r = FindSet(y);
        fa[l] = r;
}

优化

1.路径压缩：实际上，我们在查询元素时，只关心每个集合的“树形结构”所对应的根节点是什么，而不必关心这棵树的具体形态

所以对操作一可以有以下优化：

int FindSet(int x) {
    if (fa[x] == x)
        return x;
    return fa[x] = FindSet(fa[x]);
	// 在执行FindSet操作时，
	// 我们可以把访问过的每个节点都直接指向树根，
}

2.按秩合并：在集合的合并操作中，我们可以以数组rank记录每个集合的深度，秩代表的既是rank[FindSet(x)], 当合并时，可以将秩较小的树根作为秩较大树根的子节点

     // 初始化rank数组
void MakeSet() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        rank[i] = 1;
    }
}
void UnionSet(int x, int y) {
    int l = FindSet(x);
    int r = FindSet(y);
    if (l == r)
       return;
    // 将秩较小的树根作为秩较大树根的子节点                          
   	if (rank[l] <= rank[r])  
		fa[l] = r;
   	else
        fa[r] = l;
	// 注意，当集合的深度相同时，被接入的r集合的深度	  // 累加1
    if (rank[l] == rank[r])
       rank[r]++;
}