目录

一，树型结构

1.什么是树型结构

2.基础概念

3.树的表示形式（了解）

二，二叉树

1.什么是二叉树

 2.两种特殊的二叉树

 3.二叉树的性质

4.二叉树的存储

（1）.顺序存储

（2）.链式存储

5.二叉树的遍历

（1）.什么是遍历

（2）.前序遍历

（2）.中序遍历

（3）.后序遍历

（4）.层序遍历

（5）.二叉树的基本操作

一，树型结构

1.什么是树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

特点：

(1).有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

(2).除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。

(3).每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

(4).树是递归定义的

(5).子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

 

2.基础概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则称其为子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点其下的结点，为该结点的子结点； 如上图：B是A的子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
———————————————————了解即可————————————————————
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：根结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：除根结点以外的结点。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3.树的表示形式（了解）

了解：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法

常用：孩子兄弟表示法

class Node {
  int value; // 树中存储的数据
  Node firstChild; // 第一个孩子引用
  Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二，二叉树

1.什么是二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

 2.两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。                满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2. 完全二叉树:设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，且第h层的叶子结点都是从左到右依次排布的                                                                                        完全二叉树是由满二叉树而引出来的，效率更高，堆排序的数据结构即完全二叉树。

 3.二叉树的性质

1. 一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点
2. 深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3.  叶结点为 n0, 度为2的结点为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 取整
5. 具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1

4.二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和链式存储

（1）.顺序存储

指使用顺序表（数组）存储二叉树，此存储方法只适用于完全二叉树

对于一般二叉树，若使用该存储方式，需要添加一些不存在的空结点

 排序为A B C D E F G H I J

（2）.链式存储

通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

二叉链至少包含：左指针域lchild、数据域data、右指针域rchild

// 孩子表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
  int val; // 数据域
  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
  Node parent;   // 当前节点的根节点
}

5.二叉树的遍历

（1）.什么是遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

（2）.前序遍历

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树

 前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

void preOrder(TreeNode root){

      if(root==null) return ;

      System.out.print(root.val+" ");

      preOrder(root.left);

      preOrder(root.right);

}

（2）.中序遍历

中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树

 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

void inOrder(TreeNode root){

      if(root==null) return ;

      inOrder(root.left);

      System.out.print(root.val+" ");

      inOrder(root.right);

}

（3）.后序遍历

后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

 后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

void postOrder(TreeNode root){

      if(root==null) return ;

      postOrder(root.left);

      postOrder(root.right);

      System.out.print(root.val+" ");   

}

（4）.层序遍历

自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程

 层序遍历结果：A B C D E F G H I

利用队列先进先出的性质

void levelOrder(TreeNode root){
    if(root==null) return ;
    Queue queue=new LinkedList<>();
    queue.offer(root);
    while(!queue.isEmpty()){
        TreeNode cur=queue.poll();
        System.out.println(cur.val+" ");
        if(cur.left!=null){
            queue.offer(cur.left);
        }
        if(cur.right!=null){
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}

（5）.二叉树的基本操作

先实现一个TreeNode类，用于后面的使用

import java.util.*;

public class TreeNode {
    public char val;
    public TreeNode left;
    public TreeNode right;
    private TreeNode root;

    public TreeNode(char val) {
        this.val = val;
    }
    public void createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        this.root = A;
    }

1.获取树中叶子结点数

public static int leafSize;

    int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null&&root.right==null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);

    }

2.获取树中结点数

int getLeafSize(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null&&root.right==null){
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount2(root.left);
        getLeafNodeCount2(root.right);
        return leafSize;

    }

3.获取树的高度

int getHeight(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        int leftHeight=getHeight(root.left);
        int rightHeight=getHeight(root.right);
        int max=leftHeight>rightHeight?leftHeight:rightHeight;
        return max+1;

    }

4.检测val的元素是否存在

TreeNode find(TreeNode root ,int val){
        if(root==null)return null;
        if(root.val==val){
            return root;
        }
        TreeNode ret1=find(root.left,val);
        if(ret1!=null){
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2=find(root.right,val);
        if(ret2!=null){
            return ret2;
        }
        return null;
    }

5.判断是否为完全二叉树

boolean isCompleteTree(TreeNode root){
        if(root==null) return true ;
        Queue queue=new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur=queue.poll();
            if(cur!=null){
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else break;
        }
        while(!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur=queue.poll();
            if(cur!=null){
                return false;
            }else{
                queue.poll();
            }
        }
        return true;

    }